[논문 리뷰] Limits of quantum speed-ups for computational geometry and other problems: Fine-grained complexity via quantum walks

Harry Buhrman, Bruno Loff외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 06. 03.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 양자 워크와 역사에 의존하지 않는 데이터 구조를 기반으로 한 새로운 양자 감소 프레임워크를 도입하여, 여러 계산 기하학 및 대수적 문제에 대해 날카운 양자 시간 하한을 확립한다. 양자-3SUM-추측에 기반해, 3SUM, 컬라션-3SUM, 0-Edge-Weight-Triangle 및 다양한 기하 문제에 대해 선형 이하의 양자 가속은 가능하지 않음을 증명하며, 알려진 양자 상계와 일치하고 미세 복잡도 이론에서 양자 가속의 기본 한계를 설정한다.

ABSTRACT

Many computational problems are subject to a quantum speed-up: one might find that a problem having an O(n^3)-time or O(n^2)-time classic algorithm can be solved by a known O(n^1.5)-time or O(n)-time quantum algorithm. The question naturally arises: how much quantum speed-up is possible? The area of fine-grained complexity allows us to prove optimal lower-bounds on the complexity of various computational problems, based on the conjectured hardness of certain natural, well-studied problems. This theory has recently been extended to the quantum setting, in two independent papers by Buhrman, Patro, and Speelman (arXiv:1911.05686), and by Aaronson, Chia, Lin, Wang, and Zhang (arXiv:1911.01973). In this paper, we further extend the theory of fine-grained complexity to the quantum setting. A fundamental conjecture in the classical setting states that the 3SUM problem cannot be solved by (classical) algorithms in time O(n^{2-a}), for any a>0. We formulate an analogous conjecture, the Quantum-3SUM-Conjecture, which states that there exist no sublinear O(n^{1-b})-time quantum algorithms for the 3SUM problem. Based on the Quantum-3SUM-Conjecture, we show new lower-bounds on the time complexity of quantum algorithms for several computational problems. Most of our lower-bounds are optimal, in that they match known upper-bounds, and hence they imply tight limits on the quantum speedup that is possible for these problems.

연구 동기 및 목표

• 계산 기하학 및 대수적 계산 문제에 대해 조건부 양자 시간 하한을 확립하기.
• 클래식 감소를 양자 환경으로 확장하여, 미세 복잡도 이론에서 양자 가속의 기본 한계를 조사하기.
• 3SUM 및 관련 문제에 대해 선형 이하의 양자 알고리즘이 존재하는지 여부를 해결하기.
• 클래식 사전 처리(예: 정렬)의 병목 현상 문제를 해결하기 위해, 선형 이하의 양자 시간에서 작동하는 새로운 양자 감소 기법을 개발하기.

제안 방법

• 양자-3SUM-추측 도입: 3SUM에 대해 선형 이하의 Opn^{1-ε})-시간 양자 알고리즘이 존재하지 않음.
• 구조화된 데이터 위에서의 양자 워크를 사용해 클래식 미세 복잡도 감소를 양자 알고리즘으로 적응시킴.
• 역사에 의존하지 않는 클래식 동적 데이터 구조를 사용해 사전 처리 병목 현상을 피하는 하이브리드 접근 방식을 채택함.
• 그래프 및 배열 문제의 양자 워크 프레임워크에서 국소 쿼리 시뮬레이션을 위해 그로버의 검색과 확률 증폭을 활용함.
• 양자 워크 프레임워크를 사용해 컬라션-3SUM 및 0-Edge-Weight-Triangle 문제를 3SUM으로 감소시키며, 시간 복잡도 하한을 유지함.
• 0-Edge-Weight-Triangle 문제를 Opn^{1.5-ε}) 시간 이내에 해결하는 어떤 양자 알고리즘도 3SUM에 대해 선형 이하의 양자 알고리즘을 암시하며, 이는 추측과 모순됨.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자-3SUM-추측을 가정할 때, 3SUM 및 관련 문제에 대해 선형 이하의 양자 가속이 존재할 수 있는가?
• RQ2 양자-3SUM-추측에 기반해, 계산 기하학 문제인 가까운 쌍과 3SUM 기하 설정에서의 날카운 양자 시간 하한은 무엇인가?
• RQ3 클래식 사전 처리(예: 정렬)가 선형 이하의 양자 시간에서 수행될 수 없을 때, 클래식 미세 복잡도 감소를 양자 환경에 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ4 양자 워크와 클래식 데이터 구조를 조합해, 시간 복잡도 제약을 위반하지 않고 양자 감소를 가능하게 할 수 있는가?
• RQ5 양자-3SUM-추측 하에서, 컬라션-3SUM 및 0-Edge-Weight-Triangle 문제의 양자 가속 한계는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 양자-3SUM-추측을 가정할 경우, 0-Edge-Weight-Triangle 문제에 대해 조건부 양자 Ω(n^{1.5}) 시간 하한을 증명한다.
• 컬라션-3SUM에 대해 조건부 선형 양자 시간 하한을 확립하며, 알려진 최고의 양자 상계와 일치한다.
• 양자-3SUM-추측 하에, 가까운 쌍 및 이색적 가까운 쌍과 같은 여러 계산 기하학 문제에 대해 날카운 양자 시간 하한을 증명한다.
• 0-Edge-Weight-Triangle 문제를 Opn^{1.5-ε}) 시간 이내에 해결하는 어떤 양자 알고리즘도 3SUM에 대해 선형 이하의 양자 알고리즘을 암시하며, 이는 추측과 모순된다.
• 역사에 의존하지 않는 데이터 구조를 사용한 하이브리드 양자-클래식 감소 프레임워크는, 클래식 사전 처리가 선형 이하의 가속을 차단하는 상황에서 유효한 양자 감소를 가능하게 한다.
• 3SUM, 컬라션-3SUM, 0-Edge-Weight-Triangle 등의 문제에 대해 알려진 양자 상계는 양자-3SUM-추측 하에서 최적임을 입증한다.