[논문 리뷰] Lindblad equation for a non-interacting fermionic system: full-counting statistics

M. V. Medvedyeva, Stefan Kehrein|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 18.

Spectroscopy and Quantum Chemical Studies인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 기억이 없는 열원에 연결된 비상호작용 페르미온계에서 전자기계적 통계를 위한 린드블라드 방정식 프레임워크를 개발한다. 슈퍼페르미온 형식을 사용하여 리우빌리안을 정확하게 계산할 수 있는 이차형으로 변환함으로써 비평형 정상 상태에서 관측량을 정확히 계산한다. 주요 기여는 카운팅 필드를 포함한 생성함수 접근법을 통해 모든 전하 이동 누적량을 계산할 수 있도록 한 것으로, 이로써 차수 $k$의 누적량은 시스템 길이가 $k+1$를 초과할 경우 크기에 영향을 받지 않게 되며, 열원 간섭 효과가 없는 탓에 린드블라드 방법은 단위 위상공명 도선에 비해 소음을 감소시킴을 밝혀냈다.

ABSTRACT

We develop a method of calculating the full-counting statistics for a non-interacting fermionic system coupled to the memory-less reservoirs. The evolution of the system is described by the Lindblad equation. By the basis change the Liouvillian operator is brought to the quadratic form. This allows us a straightforward calculation of any observable in the non-equilibrium steady state. We introduce the counting field in the Lindblad equation which brings us to the generating function and helps us to obtain all cumulants of the charge transport. For the two-site system we give the expression for the generating function. For system longer than two sites we perform numerical investigations which suggest that it in a uniform system the cumulants of order $k$ are independent of the size of the system for system sizes larger $k+1$. The counting statistics from the Lindblad approach does not take into account interference in the reservoirs which gives a decreased noise in comparison with the Green function method which describes phase coherent leads. The current obtained by two methods is the same, which relies on the current conservation. The Fano factors are different (with a linear relation connecting them) and allow to distinguish between memory-less and phase coherent reservoirs.

연구 동기 및 목표

• 마르코프 열린 시스템 역학 하에서 비상호작용 페르미온계의 전자기계적 통계를 체계적으로 계산하는 방법을 개발하기 위해.
• 기억이 없는 열원(Lindblad)과 위상공명 도선(Green의 함수 방법) 사이의 소음 수준 격차를 다루기 위해, 둘 다 동일한 전류 예측을 하지만.
• 비평형 정상 상태에서 전하 이동의 고차 누적량이 시스템 크기에 어떻게 영향을 받는지 조사하기 위해.
• 린드블라드와 메어-윙그린 접근법 간의 Fano 계수 간의 관계를 수립하기 위해, 열원의 기억 효과에 기인한 물리적 기원을 부각하기 위해.

제안 방법

• 밀도 행렬의 진화를 슈퍼페르미온 힐베르트 공간으로 매핑하여 리우빌리안을 정확한 대각화가 가능한 이차형 연산자로 변환한다.
• 전하 이동의 전체 확률 분포를 생성함수를 통해 유도하기 위해 카운팅 필드를 린드블라드 방정식에 도입한다.
• 슈퍼페르미온 표현과 이차형 리우빌리안의 구조를 이용해 이중-사이트 시스템에 대해 생성함수를 명시적으로 유도한다.
• 더 긴 사슬에 대해 수치 시뮬레이션을 수행하여 누적량의 시스템 크기 스케일링을 탐색한다.
• Luttinger 액체 열원을 사용하여 메어-윙그린 형식과 결과를 비교하며, 점근적 감마 함수 전개를 통해 비정상적인 분포 함수를 통합한다.
• 감마 함수의 점근적 형태를 사용하여 Luttinger 액체 도선의 저에너지 분포 함수를 유도하고, 전류와 소음의 해석적 평가를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기억이 없는 열원에 연결된 비상호작용 페르미온계에서 전하 이동의 전자기계적 통계는 시스템 크기에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ2 두 방법 모두 동일한 전류를 예측하지만, 린드블라드와 메어-윙그린 접근법 간의 소음 수준 격차의 근본 원인은 무엇인가?
• RQ3 린드블라드 형식 하에서 비평형 정상 상태에서 전하 이동의 누적량은 시스템 길이에 따라 어떻게 스케일링되는가?
• RQ4 린드블라드 및 메어-윙그린 프레임워크에서 도출된 Fano 계수 간의 기능적 관계는 무엇인가?
• RQ5 린드블라드 방법에서 열원의 기억이 없는 것이 전하 이동의 고차 통계에 얼마나 영향을 미치는가?

주요 결과

• 시스템 길이가 $k+1$를 초과할 경우, 전하 이동의 차수 $k$ 누적량은 시스템 크기와 무관해지며, 통계적 변동의 포화를 나타낸다.
• 무한한 외부 전압에서 린드블라드 방법으로 계산된 전류는 정확히 메어-윙그린 공식과 일치하며, 두 프레임워크 간 전류 보존을 확인한다.
• 린드블라드 방법에서 열원 간섭 효과가 없기 때문에, 위상공명 도선의 Green의 함수 방법에 비해 소음이 체계적으로 감소한다.
• 두 접근법에서 도출된 Fano 계수 간의 관계는 선형 함수로 표현되며, 기억이 없는 열원과 위상공명 열원을 구별하는 진단 도구가 된다.
• 이중-사이트 시스템의 생성함수는 슈퍼페르미온 형식을 통해 명시적으로 유도되었으며, 전하 분포의 모든 누적량에 대한 접근이 가능해졌다.
• 더 긴 사슬에 대한 수치 결과는 고차 누적량이 임계 길이를 초과하면 크기에 영향을 받지 않음을 확인하며, 이는 이차형 리우빌리안의 구조적 기대와 일치한다.