[논문 리뷰] Linear collective collocation and Galerkin approximations for parametric and stochastic elliptic PDEs

Ðinh Dũng|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 11.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 선형 집합 근사 방법—테일러, 콜로케이션, 갈레르킨—을 도입하여 약한 매개변수 의존성과 함께 고차원 매개변수 및 확률적 타원형 PDE에 대해 적용한다. 미약한 정규성 조건 하에서 이러한 방법들은 기저 비매개변수 유한요소 근사와 동일한 수렴 속도를 달성하며, 차원의 극복 문제를 효과적으로 해결하면서 명시적인 상수 추정을 포함한 최적 오차 경계를 유지한다.

ABSTRACT

Consider the parametric elliptic problem \begin{equation} - \operatorname{dv} \big(a(y)(x) abla u(y)(x)\big) \ = \ f(x) \quad x \in D, \ y \in [-1,1]^\infty, \quad u|_{\partial D} \ = \ 0, \end{equation} where $D \subset {\mathbb R}^m$ is a bounded Lipschitz domain, $[-1,1]^\infty$, $f \in L_2(D)$, and the diffusions $a$ satisfy the uniform ellipticity assumption and are affinely dependent with respect to $y$. The parametric variable $y$ may be deterministic or random. In the present paper, a central question to be studied is as follows. Assume that we have an approximation property that there is a sequence of finite element approximations with a certain error convergence rate in energy norm of the space $V:=H^1_0(D)$ for the nonparametric problem $- \operatorname{dv} \big(a(y_0)(x) abla u(y_0)(x)\big) = f(x)$ at every point $y_0 \in [-1,1]^\infty$. Then under what assumptions does this sequence induce a sequence of finite element approximations with the same error convergence rate for the parametric elliptic problem in the norm of the Bochner spaces $L_\infty([-1,1]^\infty,V)$ or $L_2([-1,1]^\infty,V)$? We solved this question by linear collective Taylor, collocation and Galerkin methods, based on Taylor expansions, Lagrange polynomial interpolations and Legendre polynomials expansions, respectively, on the parametric domain $[-1,1]^\infty$. Under very light conditions, we show that all these approximation methods give the same error convergence rate as that by the sequence of finite element approximations for the nonparametric elliptic problem. The parametric infinite-variate part completely disappears from the convergence rate and influences only the constant. Hence the curse of dimensionality is broken by linear methods.

연구 동기 및 목표

• 비매개변수 타원형 PDE에 대해 주어진 수렴 속도를 갖는 유한요소 근사 수열이 매개변수 문제에 대해 동일한 수렴 속도를 유도하는 조건을 규명하는 것.
• 매개변수 수가 가чёт무한수일 수 있는 고차원 매개변수 PDE에서의 차원의 극복 문제를 다루는 것.
• 공간적 변수와 매개변수적 변수를 분리하지 않고 함께 다루는 선형 집합 근사 체계를 개발하는 것.
• 비매개변수 수렴 속도와 일치하는 Bochner 공간 $L_\infty(\mathbb{I}^\infty, V)$ 및 $L_2(\mathbb{I}^\infty, V)$ 내 수렴 속도를 확립하는 것.
• 매개변수 의존성이 비록 상수에 영향을 주지만, 약한 선형성과 $\ell_p$-summability 조건 하에서 수렴 속도가 악화되지 않는다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 무한차원 매개변수 영역 $\mathbb{I}^\infty$ 상에서 테일러 전개, 라그랑주 보간법, 레지오드 다항식 전개를 사용하여 선형 집합 테일러, 콜로케이션, 갈레르킨 근사를 구성한다.
• 비매개변수 문제에 대한 유한요소 근사 수열을 기반으로 하여 매개변수 문제에 대한 집합 근사 프레임워크를 유도한다.
• 계수열 $\sigma_s$를 $\sigma_s^{-1} = \frac{|s|!}{s!} b^s$ 로 정의하는 레지오드 전개 기반 방법을 적용하며, 여기서 $b$ 는 매개변수 도함수의 감쇠를 제어한다.
• 매개변수 정규성을 제어하기 위해 $\ell_p$-summability 조건 $\|\psi_j\|_{W^{1}_\infty(D)} \in \ell_p(\mathbb{N})$ 를 도입하며, $0 < p < 1$ 이다.
• 계수열 $\sigma_s$ 를 통한 매개변수 도함수의 성장률을 추정하고, 보간 이론 및 근사 이론을 적용하여 Bochner 노름 내 오차 경계를 유도한다.
• 확산 계수와 도메인 정규성에 대한 미약한 가정 하에서, $L_\infty(\mathbb{I}^\infty, V)$ 또는 $L_2(\mathbb{I}^\infty, V)$ 내 수렴 속도가 비매개변수 속도와 일치함을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비매개변수 타원형 PDE에 대해 주어진 수렴 속도를 갖는 유한요소 근사 수열이 Bochner 공간 노름 내 매개변수 문제에 대해 동일한 속도를 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 무한차원 매개변수 공간을 가진 매개변수 타원형 PDE에서 선형 집합 방법이 차원의 극복 문제를 해결할 수 있는가?
• RQ3 선형 매개변수 의존성과 도함수 계수의 $\ell_p$-summability 조건이 집합 근사의 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 매개변수 정규성을 얼마나 잘 활용할 수 있는가? 공간적 및 매개변수적 변수를 분리하지 않고 최적 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ5 선형 비침습적 방법을 사용하여 $L_\infty(\mathbb{I}^\infty, V)$ 및 $L_2(\mathbb{I}^\infty, V)$ 내 동일한 수렴 속도를 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 선형 집합 갈레르킨 및 콜로케이션 방법은 기저 비매개변수 유한요소 근사와 동일한 수렴 속도 $n^{-\min(1/p - 1, \alpha)}$ 를 달성하며, 명시적인 상수 $C$ 는 $\|\sigma^{-1}\|_{\ell_p(\mathbb{F})}$ 에 의존한다.
• 만약 $p = \frac{1}{1 + \alpha}$ 이면 수렴 속도는 $n^{-\alpha}$ 로 단순화되며, 이는 비매개변수 속도와 정확히 일치한다.
• 공간적 및 매개변수적 변수의 분리 없이 최적 수렴을 달성하며, 텐서화된 근사 공간을 통해 함께 다룬다.
• 차원의 극복 문제가 해결된다: 수렴 속도는 매개변수 차원에 독립적이며, $d = \infty$ 일지라도 매개변수 도함수 계수의 $\ell_p$-summability 조건 하에서 성립한다.
• 오차 경계 내 상수 $C$ 는 명시적으로 추정되며, 오직 계수 수열의 $\ell_p$-노름과 문제 데이터에 의존할 뿐 차원에는 영향을 받지 않는다.
• 충분한 정규성 조건이 추가로 가정될 경우, 임의의 $\alpha > 0$ 에 대해서도 결과가 확장되며, 현재의 정규성 제약 조건을 초월한 광범위한 적용 가능성을 시사한다.