[논문 리뷰] Linear collective collocation and Galerkin methods for parametric and stochastic elliptic PDEs

Ðinh Dũng|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 11.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 20인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 다항식 전개를 통해 무한차원의 매개변수 영역 $[-1,1]^{\times}$에서 선형 집합 방법—테일러, 콜로케이션, 갈레르킨—을 도입하여 무한차원 매개변수 타입 타원형 PDE를 해결한다. 미세한 조건 하에 이러한 방법들은 비매개변수 문제에 대한 기초 유한요소 방법과 동일한 수렴 속도를 유지함으로써, 매개변수 복잡성을 상수 인자로 격리함으로써 차원의 저주를 효과적으로 극복한다.

ABSTRACT

Consider the parametric elliptic problem \begin{equation} onumber - \operatorname{dv} \big(a(y)(x) abla u(y)(x)\big) = f(x) \quad x \in D, y \in [-1,1]^\infty, \quad u|_{\partial D} = 0, \end{equation} where $D \subset {\mathbb R}^m$ is a bounded Lipschitz domain, $[-1,1]^\infty$, $f \in L_2(D)$, and the diffusions $a$ satisfy the uniform ellipticity assumption and are affinely dependent with respect to $y$. The parametric variable $y$ may be deterministic or random. In the present paper, a central question to be studied is as follows. Assume that we have an approximation property that there is a sequence of finite element approximations with a certain error convergence rate in energy norm of the space $V:=H^1_0(D)$ for the nonparametric problem $- \operatorname{dv} \big(a(y_0)(x) abla u(y_0)(x)\big) = f(x)$ at every point $y_0 \in [-1,1]^\infty$. Then under what assumptions does this sequence induce a sequence of finite element approximations with the same error convergence rate for the parametric elliptic problem in the norm of the Bochner spaces $L_\infty([-1,1]^\infty,V)$ or $L_2([-1,1]^\infty,V)$? We solved this question by linear collective Taylor, collocation and Galerkin methods, based on Taylor expansions, Lagrange polynomial interpolations and Legendre polynomials expansions, respectively, on the parametric domain $[-1,1]^\infty$. Under very light conditions, we show that all these approximation methods give the same error convergence rate as that by the sequence of finite element approximations for the nonparametric elliptic problem. The parametric infinite-variate part completely disappears from the convergence rate and influences only the constant. Hence the curse of dimensionality is broken by linear methods.

연구 동기 및 목표

• 비매개변수 타원형 문제에 대해 알려진 수렴 속도를 갖는 유한요소 근사의 수열이 매개변수 영역에서 동일한 속도를 유도할 수 있는 조건을 규명하는 것.
• 무한차원 매개변수 영역 $[-1,1]^\rtimes$가 보처 공간 $L_2$ 또는 $L_\rtimes$에서 수렴 속도를 떨어뜨리는지 분석하는 것.
• 매개변수 차원에 관계없이 원래의 수렴 속도를 유지하는 선형 근사 전략을 개발하는 것.
• 매개변수 의존성이 오차 한계의 상수 요소에만 영향을 주며, 수렴 속도에 영향을 주지 않는다는 것을 입증하는 것.

제안 방법

• 매개변수 영역 $[-1,1]^\rtimes$에서 선형 집합 테일러 전개를 사용하여 해 매핑을 근사한다.
• 콜로케이션 점을 통한 라그랑주 다항식 보간을 적용하여 매개변수 근사를 구성한다.
• 매개변수 변수에서의 레지나 다항식 전개를 활용하여 갈레르킨 근사를 구축한다.
• 해공간 $V = H^1_0(D)$를 갖는 보처 공간 $L_2([-1,1]^\rtimes, V)$ 및 $L_\rtimes([-1,1]^\rtimes, V)$에서 근사를 구성한다.
• 안정성을 확보하기 위해 매개변수에 대한 애फ니형 의존성과 균일 타원성 조건을 활용한다.
• 유한요소 수열에 대한 최소한의 가정 하에 수렴 속도가 유지됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비매개변수 문제에 대해 주어진 수렴 속도를 갖는 유한요소 방법이 매개변수 영역 $[-1,1]^\rtimes$에서 동일한 속도를 유도할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 무한차원 매개변수 차원성에도 불구하고 선형 매개변수 근사 방법이 기초 유한요소 이산화의 수렴 속도를 유지할 수 있는가?
• RQ3 매개변수 영역이 수렴 속도에 미치는 영향은 어느 정도이며, 이 영향을 곱셈 상수로 제한할 수 있는가?
• RQ4 테일러, 콜로케이션, 갈레르킨 방법이 동일한 가정 하에 동일한 수렴 속도를 달성하는가?
• RQ5 선형 매개변수 근사 기법을 사용할 경우 이 매개변수 타원형 PDE 프레임워크에서 차원의 저주가 수렴 속도에 영향을 주지 않는가?

주요 결과

• 테일러, 콜로케이션, 갈레르킨의 세 가지 선형 방법 모두에서 비매개변수 문제에 대한 유한요소 방법의 수렴 속도가 매개변수 설정에서 그대로 유지된다.
• 무한차원 매개변수 영역 $[-1,1]^\rtimes$는 수렴 속도를 떨어뜨리지 않으며, 오직 오차 한계의 상수에만 영향을 준다.
• 매개변수 의존성이 오차 추정치에 영향을 주는 것은 상수 인자에만 국한되며, 매개변수 차원과는 무관하다.
• 매개변수 수가 무한할 경우조차도 이러한 방법들은 기초 유한요소 이산화와 동일한 수렴 속도를 달성한다.
• 균일 타원성과 $a(y)$의 애फ니형 매개변수 의존성은 수렴 속도 유지에 충분한 조건이다.
• 이 매개변수 타원형 PDE 프레임워크에서 선형 집합 방법은 차원의 저주를 효과적으로 극복한다.