[논문 리뷰] Linear continuous functionals on FN-type spaces

Sorin G. Gal|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 29.

Fuzzy Systems and Optimization참고 문헌 12인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 퍼지 수 값 함수로 구성된 완비 거리공간인 FN 유형 공간에서의 선형 연속 함수형을, 해당 공간의 구간 수 값 함수 공간에 대응하는 선형 함수형을 통해 특성화한다. 주요 결과는 $ C([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $ 및 $ L^p([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $에서의 이러한 함수형이 퍼지 수의 수준별 표현을 통해 각각 $ C([a,b];\overline{C}[0,1]) $ 및 $ L^p([a,b];\overline{C}[0,1]) $에서의 함수형과 대응됨을 보여준다. 그러나 이러한 함수형의 전반적인 특성화에 대해서는 여전히 열린 질문이 남아 있다.

ABSTRACT

By using the space of fuzzy numbers, in e.g. [5] have been considered several complete metric spaces (called here {\bf FN}-type spaces) endowed with addition and scalar multiplication, such that the metrics have nice properties but the spaces are not linear, i.e. are not groups with respect to addition and the scalar multiplication is not, in general, distributive with respect to usual scalar addition. This paper deals with the form of linear continuous functionals defined on these spaces.

연구 동기 및 목표

• 완비 거리공간인 퍼지 수 값 함수로 구성된 FN 유형 공간에서의 선형 연속 함수형의 구조를 특성화하는 것 — 이는 고전적 의미에서 선형이 아닌 공간이다.
• 퍼지 수 값 함수 공간과 그에 대응하는 구간 수 값 함수 공간 사이의 격차를 퍼지 수의 수준별 표현을 통해 메우는 것.
• 퍼지 함수 공간에서의 선형 연속 함수형과 기저가 되는 연속적이거나 적분 가능한 구간 수 값 함수 공간에서의 함수형 사이의 대응 관계를 수립하는 것.
• 특히 $ C([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $ 및 $ L^p([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $에서 이러한 함수형이 적분 표현을 갖는 데 필요한 충분조건을 제공하는 것.

제안 방법

• 각 퍼지 수 $ u \in \mathbf{R}_{\mathcal{F}} $를 수준 집합 $ [u]^{r} = [u_{-}(r), u_{+}(r)] $로 표현하여 $ u \mapsto (u_{-}, u_{+}) \in \overline{C}[0,1] \times \overline{C}[0,1] $로 매핑한다. 여기서 $ \overline{C}[0,1] $는 균일 노름을 갖는 유계이면서 (0,1]에서 왼쪽 연속이고 0에서 오른쪽 연속인 함수의 공간이다.
• FN 유형 공간을 $ C([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $, $ L^p([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $, $ l^p_{\mathbf{R}_{\mathcal{F}}} $로 정의하며, $ \overline{C}[0,1] $에서의 균일 노름에서 유도된 거리로 장비한다.
• 주어진 퍼지 함수 공간에서의 함수형 $ x^* $를 이용해, 구간 수 값 함수 공간의 조밀한 부분공간 $ A $ (또는 $ FA $) 위에서 선형 함수형 $ L_0 $을 구성한다.
• 목표 공간의 완비성에 기반하여, $ L_0 $을 전체 공간 $ C([a,b];\overline{C}[0,1]) $ 또는 $ L^p([a,b];\overline{C}[0,1]) $ 위에서 연속 선형 함수형 $ L $으로 확장한다.
• 모든 선형 연속 함수형 $ x^* $가 퍼지 공간에서 $ x^*(x) = L(x_{-} + x_{+}) $ 형태로 나타나며, 여기서 $ L $은 구간 수 값 공간에서 최대노름 또는 $ L^p $ 유형 거리에 대해 연속임을 증명한다.
• 이러한 함수형에 대해 충분한 적분 표현을 제공하며, 이는 각각 유계 변동성을 갖는 연속 함수 $ h_1 $ 또는 $ L^q $에 속하는 함수 $ h_2 $를 포함한다. 그러나 모든 함수형이 이러한 형태로 표현되는지 여부는 여전히 열린 질문이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특히 $ C([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $ 및 $ L^p([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $와 같은 FN 유형 공간에서의 선형 연속 함수형의 일반 형태는 무엇인가?
• RQ2 $ C([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $에서의 모든 선형 연속 함수형이 연속 함수형 $ C([a,b];\overline{C}[0,1]) $과의 수준별 매핑 $ x \mapsto (x_{-}, x_{+}) $의 복합함수 형태로 표현될 수 있는가?
• RQ3 $ L^p([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $에서의 모든 선형 연속 함수형이 [0,1]에서의 연속 함수와 [a,b]에서의 $ L^q $ 함수를 포함하는 적분 형태로 표현될 수 있는가?
• RQ4 퍼지 공간의 함수형과 구간 수 값 함수 공간의 함수형 사이의 대응 관계가 완전한가, 아니면 구성된 클래스 외의 함수형이 존재하는가?
• RQ5 밀도 있는 부분공간에서의 $ L_0 $의 구성이 이러한 FN 유형 공간에서의 모든 연속 선형 함수형의 전반적인 특성화로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 선형 연속 함수형 $ x^* $는 $ C([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $에서 $ x^*(x) = L(x_{-} + x_{+}) $ 형태로 나타나며, 여기서 $ L $은 균일 거리 $ \Delta(F,G) = \sup_{t \in [a,b]} ||F(t) - G(t)|| $에 대해 $ C([a,b];\overline{C}[0,1]) $에서 연속 선형 함수형이다.
• 일부 함수형은 다음과 같은 적분 표현을 갖는다: $ x^*(x) = \int_a^b \left\{ \int_0^1 h_1(s) \, d[x(t)_{-}(s) + x(t)_{+}(s)] \right\} d[h_2(t)] $, 여기서 $ h_1 $은 [0,1]에서 연속이고 $ h_2 $는 [a,b]에서 유계 변동성을 갖는다.
• $ L^p([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $에서 모든 선형 연속 함수형 $ x^* $는 $ x^*(x) = L(x_{-} + x_{+}) $ 형태로 나타나며, 여기서 $ L $은 $ L^p $ 유형 거리 $ \Delta_p(F,G) = \left( \int_a^b ||F(t) - G(t)||^p dt \right)^{1/p} $ 에 대해 $ L^p([a,b];\overline{C}[0,1]) $에서 연속이다.
• $ L^p([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $에서의 충분한 함수형 클래스는 $ x^*(x) = \int_a^b \left\{ \int_0^1 h_1(s) \, d[x(t)_{-}(s) + x(t)_{+}(s)] \right\} h_2(t) \, dt $ 형태로 주어지며, 여기서 $ h_1 \in C[0,1] $, $ h_2 \in L^q([a,b]) $, $ 1/p + 1/q = 1 $이다.
• 함수형 $ L_0 $을 $ C([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $의 밀집 부분공간 $ FA $ 위에서 정의하는 것 — $ L_0(U) = x^*(V) $ 형태로, 여기서 $ F, G \in CIC[0,1] $로부터 $ V $를 재구성함 — 이 연속성 확장 증명에 핵심적이다.
• 논문은 $ C([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $, $ L^p([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $, $ l^p_{\mathbf{R}_{\mathcal{F}}} $에서의 모든 선형 연속 함수형이 제안된 적분 형태나 기능적 대응에 의해 포괄되는지 여부는 여전히 열려 있다.