[논문 리뷰] Linear identification of nonlinear systems: A lifting technique based on the Koopman operator

Alexandre Mauroy, Jorge Gonçalves|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 14.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비선형 동역계를 식별하기 위한 새로운 간접적 방법을 제안한다. 이 방법은 쿠퍼만 연산자를 통해 관측량의 무한차원 공간으로 문제를 올림으로써 선형 동역계 식별 기법을 활용해 다항 벡터장의 복원을 가능하게 한다. 이 방법은 낮은 샘플링 속도로도 불안정하고 혼돈적인, 개방된 시스템을 강인하고 노이즈에 강건하게 식별할 수 있으며, 벡터장과 네트워크 구조의 재구성에서 높은 정확도를 보였다.

ABSTRACT

We exploit the key idea that nonlinear system identification is equivalent to linear identification of the socalled Koopman operator. Instead of considering nonlinear system identification in the state space, we obtain a novel linear identification technique by recasting the problem in the infinite-dimensional space of observables. This technique can be described in two main steps. In the first step, similar to the socalled Extended Dynamic Mode Decomposition algorithm, the data are lifted to the infinite-dimensional space and used for linear identification of the Koopman operator. In the second step, the obtained Koopman operator is "projected back" to the finite-dimensional state space, and identified to the nonlinear vector field through a linear least squares problem. The proposed technique is efficient to recover (polynomial) vector fields of different classes of systems, including unstable, chaotic, and open systems. In addition, it is robust to noise, well-suited to model low sampling rate datasets, and able to infer network topology and dynamics.

연구 동기 및 목표

• 제한된, 노이즈가 섞인, 또는 낮은 샘플링 속도로 수집된 데이터로부터 비선형 동역계를 식별하는 데 도전하는 것.
• 비선형 식별 문제를 관측량 공간에서의 선형 식별 문제로 재정의함으로써 쿠퍼만 연산자 이론과 데이터 기반 동역계 식별 간 격차를 메우는 것.
• 낮은 샘플링 속도에서 시간 도함수 추정이 불가능하므로, 이를 직접 추정하는 것을 피하는 방법을 개발하는 것.
• 불안정하거나 혼돈적인 시스템을 포함한 원래의 벡터장 계수를 정확하게 복원하고, 궤적 데이터로부터 네트워크 구조를 유추하는 것.
• 작은 데이터셋과 복잡한 역학에 대해 확장 가능한 선형 방법 기반의 강인한 시스템 식별 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 비선형 시스템을 쿠퍼만 연산자를 사용해 관측량의 무한차원 공간으로 리프팅하여, 이 공간에서 시스템의 역학이 선형화됨을 보장한다.
• 스냅샷 데이터를 사용해 이 공간에서 쿠퍼만 연산자의 선형 식별을 수행하며, 이는 확장된 동적 모드 분해(EDMD) 알고리즘의 일부와 유사하다.
• 식별된 쿠퍼만 연산자를 유한차원 상태 공간으로 선형 최소제곱 문제를 통해 투영함으로써 원래의 벡터장 계수를 복원한다.
• 쿠퍼만 연산자를 수치적으로 계산할 수 있도록 다항함수의 유한 기저를 사용한다.
• 쿠퍼만 연산자의 무한소 생성자와 벡터장 간의 해석적 연결은 [4]에서 유사한 유도 과정을 따르며, 이로써 비선형 역학의 재구성이 가능해진다.
• 과정 노이즈와 입력을 포함한 개방 시스템을 다루기 위해, 노이즈 모델을 데이터 생성 및 식별 과정에 통합함으로써 방법을 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쿠퍼만 연산자를 사용해 관측량 공간에서의 선형 식별 문제로 비선형 시스템 식별을 효과적으로 재정의할 수 있는가?
• RQ2 이 리프팅 기법은 낮은 샘플링 속도와 노이즈가 섞인 궤적 데이터로부터 다항 벡터장을 얼마나 잘 복원할 수 있는가?
• RQ3 이 방법은 불안정하거나 혼돈적인 시스템에서 측정 노이즈 및 과정 노이즈에 대해 어느 정도 강인한가?
• RQ4 제한된 궤적 데이터로부터 네트워크 구조와 역학을 정확하게 재구성할 수 있는가?
• RQ5 시간 도함수 추정이 필요한 직접적 방법과 비교해 이 방법의 성능은 어떠한가?

주요 결과

• 강력한 외부 힘을 가진 2차원 비선형 시스템의 경우, 10회의 시뮬레이션 평균으로 벡터장 계수 복원의 루트 평균 제곱 오차(RMSE)가 0.025에 도달했다.
• 강한 과정 노이즈(σproc = 1) 조건에서도 강인성을 유지하여 RMSE가 0.078를 기록하며 측정 노이즈 및 과정 노이즈에 모두 강건함을 입증했다.
• 복잡한 비선형 상호작용을 가진 12차원 시스템의 경우, 1500개의 데이터 포인트로 RMSE가 0.021을 달성했으며, 300개의 궤적만으로도 효과적으로 작동하여 RMSE가 0.151을 기록했다.
• 임계값 0.1을 사용한 네트워크 재구성에서 진짜 양성 비율은 0.875, 거짓 양성 비율은 0.023로 나타나 진짜 연결을 정확하게 식별함을 보였다.
• 이 방법은 네트워크의 연결 존재 여부뿐 아니라, 연결의 유형(예: 이차, 삼차)과 가중치(계수 값)까지도 정확히 유추할 수 있다.
• 이 방법은 낮은 샘플링 속도 데이터에 매우 적합하며, 시간 도함수 추정이 필요 없어 실제 생물학적 및 공학적 시스템에서 희소 측정 데이터에 적용 가능하다.