[논문 리뷰] Linear Logic without Units

Robin Houston|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 09.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 22인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 단위가 없는 곱셈 선형 논리의 조각을 이원적 이분기 이분기 카테고리에서의 허위모노이드를 사용하여 범주론적 모델로 개발하며, 고차원 대수적 구조에 대한 추론을 단순화하기 위해 새로운 '구성요소의 미적분'을 도입한다. 주요 기여는 단위가 없는 직관적이고 비직관적 곱셈 선형 논리의 모델과 프로모노이드 카테고리 사이의 공식적 동치이며, 고차원 케일리 정리에 기반한 새로운 단위 특성화가 포함되어 있다.

ABSTRACT

We study categorical models for the unitless fragment of multiplicative linear logic. We find that the appropriate notion of model is a special kind of promonoidal category. Since the theory of promonoidal categories has not been developed very thoroughly, at least in the published literature, we need to develop it here. The most natural way to do this - and the simplest, once the (substantial) groundwork has been laid - is to consider promonoidal categories as an instance of the general theory of pseudomonoids in a monoidal bicategory. Accordingly, we describe and explain the notions of monoidal bicategory and pseudomonoid therein. The higher-dimensional nature of monoidal bicategories presents serious notational difficulties, since to use the natural analogue of the commutative diagrams used in ordinary category theory would require the use of three-dimensional diagrams. We therefore introduce a novel technical device, which we dub the calculus of components, that simplifies the business of reasoning about a certain class of algebraic structure internal to a monoidal bicategory. When viewed through this simplifying lens, the theory of pseudomonoids turns out to be essentially formally identical to the ordinary theory of monoidal categories. We indicate how the calculus of components may be extended to cover structures that make use of the braiding in a braided monoidal bicategory, and use this to study braided pseudomonoids. A higher-dimensional analogue of Cayley's theorem is proved, and used to deduce a novel characterisation of the unit of a promonoidal category. This, and the other preceding work, is then used to give two characterisations of the categories that model the unitless fragment of intuitionistic multiplicative linear logic. Finally we consider the non-intuitionistic case, where the second characterisation in particular takes a surprisingly simple form.

연구 동기 및 목표

• 표준적인 스타-자기수 카테고리가 빈 순서를 해석해야 하므로, 단위가 없는 곱셈 선형 논리의 조각을 묘사할 수 없는 점을 감안해, 단위가 없는 곱셈 선형 논리에 대한 범주론적 모델을 개발하는 것.
• 단위가 없는 선형 논리가 여전히 빈 문맥을 해석해야 하므로, 전통적인 스타-자기수 카테고리 이외의 새로운 대수적 구조가 필요하다는 기초적 문제를 해결하는 것.
• 모노이드 카테고리 이론을 프로모노이드 및 허위모노이드 구조로 일반화하여, 모노이드 이분기 카테고리 내에서의 알려진 결과들을 체계적으로 번역할 수 있도록 하는 것.
• 모노이드 이분기 카테고리 내에서 고차원 대수적 구조에 대한 추론을 단순화하기 위한 표기 장치로 '구성요소의 미적분'을 도입하고 공식화하는 것.
• 직관적이고 비직관적 곱셈 선형 논리의 단위가 없는 조각을 묘사하는 카테고리에 대해 두 가지 특성화를 제공하는 것: 하나는 허위모노이드 구조를 통해, 다른 하나는 새로운 단위 특성화를 통해.

제안 방법

• 논문은 카테고리, 프로파일러, 자연변환으로 구성된 모노이드 이분기 카테고리 내에서 프로모노이드 카테고리를 허위모노이드로 공식화한다.
• 논문은 '구성요소의 미적분'—모노이드 이분기 카테고리 내부의 대수적 구조에 대한 추론을 단순화하는 데 도움이 되는 새로운 표기 프레임워크—를 도입한다. 이는 3차원 다이어그램을 피하기 위한 것이다.
• 모노이드 이분기 카테고리 내의 허위모노이드 이론은 원칙에서 출발하여, 비틀림이 없는 경우에 그 구조가 모노이드 카테고리의 구조와 유사함을 보여준다.
• 케일리 정리의 고차원 해석을 증명하고, 이를 바탕으로 프로모노이드 카테고리 내의 단위 객체에 대한 새로운 내부 특성화를 유도한다.
• 구성요소의 미적분은 빈티드 구조를 다룰 수 있도록 확장되어, 빈티드 허위모노이드의 연구를 가능하게 한다.
• 이 프레임워크를 적용하여, 단위가 없는 직관적이고 비직관적 곱셈 선형 논리가 특정 유형의 프로모노이드 카테고리로 묘사됨을 보이며, 두 가지 다른 특성화를 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준적인 스타-자기수 카테고리가 빈 순서를 해석해야 하므로, 단위가 없는 곱셈 선형 논리의 조각에 대해 올바른 범주론적 모델은 무엇인가?
• RQ2 특수 정의에 의존하지 않고, 모노이드 카테고리 이론을 프로모노이드 카테고리와 같은 구조로 체계적으로 일반화할 수 있는가?
• RQ3 모노이드 이분기 카테고리 내부의 대수적 구조, 특히 허위모노이드에 대해 추론할 수 있는 통합된 프레임워크를 개발할 수 있는가? 특히 모노이드 카테고리 이론의 단순성과 유사하게 작동하도록 하는가?
• RQ4 프로모노이드 카테고리에서 단위는 어떤 역할을 하는가? 그리고 단위 객체로 정의되는 것 외에 독립적으로 특성화할 수 있는가?
• RQ5 단위가 없는 직관적이고 비직관적 곱셈 선형 논리의 모델은 어떻게 다를 수 있으며, 이들을 통합적 또는 이중적인 방식으로 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• 구성요소의 미적분은 모노이드 이분기 카테고리 내의 대수적 구조에 대한 추론을 효과적으로 단순화하는 강력한 방법을 제공하며, 복잡한 3차원 다이어그램을 다룰 수 있는 기계적 기호 미적분으로 효과적으로 대체한다.
• 모노이드 이분기 카테고리 내의 허위모노이드는 비틀림이 없는 경우에 모노이드 카테고리의 이론적 형식을 유지하는 방식으로 모노이드 카테고리를 일반화한다.
• 케일리 정리의 고차원 해석을 증명하였으며, 이를 통해 프로모노이드 카테고리 내의 단위 객체에 대한 새로운 내부 특성화를 가능하게 한다.
• 프로모노이드 카테고리의 단위는 구성요소의 미적분과 단위의 보편성 조건을 통해 초기 정의와 독립적으로 유일하게 특성화된다.
• 직관적 곱셈 선형 논리의 단위가 없는 조각을 묘사하는 카테고리에 대해 두 가지 다른 특성화가 확립되었다: 하나는 허위모노이드 구조를 통해, 다른 하나는 단위를 포함한 보편성 조건을 통해.
• 비직관적 경우에서는 두 번째 특성화가 놀랍도록 단순한 형태를 띠며, 직관적 제약 조건이 없는 경우에 깊이 있는 구조적 단순성의 존재를 시사한다.