[논문 리뷰] Linear Matrix Inequality Representation of Sets

J. William Helton, Victor Vinnikov|ArXiv.org|2003. 06. 11.

Matrix Theory and Algorithms인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 ℝ² 내의 닫힌 볼록 집합이 선형 행렬 부등식(LMI)으로 표현될 수 있는 조건이 그 경계의 실근 다항식 구조에 의해 정의되는 '고정된 볼록성'임을 증명한다. 저자들은 두 차원에서 고정된 볼록성이 LMI 표현 가능성에 필수적이고 충분한 조건임을 입증하며, 파릴로와 슈르프엘스가 제기한 공식적 질문을 해결하고 제어 이론 및 최적화 분야의 정수기반 프로그래밍 응용을 위한 기초적 특성화를 제공한다.

ABSTRACT

This article concerns the question: which subsets of ${\mathbb R}^m$ can be represented with Linear Matrix Inequalities, LMIs? This gives some perspective on the scope and limitations of one of the most powerful techniques commonly used in control theory. Also before having much hope of representing engineering problems as LMIs by automatic methods one needs a good idea of which problems can and cannot be represented by LMIs. Little is currently known about such problems. In this article we give a necessary condition, we call "rigid convexity", which must hold for a set ${\cC} \in {\mathbb R}^m$ in order for ${\cC}$ to have an LMI representation. Rigid convexity is proved to be necessary and sufficient when $m=2$. This settles a question formally stated by Pablo Parrilo and Berndt Sturmfels in [PSprep].

연구 동기 및 목표

• ℝᵐ 내의 닫힌 볼록 집합 중에서 선형 행렬 부등식(LMI)으로 표현 가능한 집합을 규명하는 것, 이는 제어 이론 및 최적화 분야의 핵심 도구이다.
• 지오메트릭 제약 조건 중에서 LMI로 변환 가능한 조건을 규명하기 위한 체계적 기준의 부족을 해결하는 것.
• 두 차원에서 LMI 표현 가능한 집합의 완전한 특성화를 제공하는 것.
• LMI 표현 가능성에 대해 필수적이고 충분한 조건으로서 '고정된 볼록성'의 개념을 도입하고 철저히 정의하는 것.
• 다항식 수준 집합의 대수적, 기하학적, 위상수학적 성질이 LMI 표현 가능성과 어떻게 연결되는지 밝히는 것.

제안 방법

• 모든 x ∈ ℝᵐ에 대해 p(μx) = 0 이면 μ가 실수임을 만족하는 다항식을 실근(RZ) 다항식으로 정의하며, 이를 행렬 펜슬의 스펙트럼 성질과 연결한다.
• 선형 행렬 펜슬 L₀ + L₁x₁ + ⋯ + Lₘxₘ의 행렬식을 실근 다항식의 표준 소스로 사용한다.
• 모든 ℂ ⊂ ℝ²가 LMI로 표현 가능할 조건은, 실근 다항식으로 정의된 초표면의 내부의 연결된 구성요소의 폐포임을 입증한다.
• Nuij의 연결성 결과를 포함한 쌍대 기하학 및 위상수학 도구를 활용해 실대수 기하표면의 구조를 분석한다.
• ℙᵐ(ℝ)에서 실근 다항식의 영점 집합의 위상을, 차수에 따라 중첩된 타원체의 서로소 합집합과 가능성이 있는 가짜 평면체로 특성화한다.
• 해당 초표면의 내부가 ℝᵐ와 교차할 때, 무한원점 평면이 내부와 교차하는지 여부에 따라 볼록이거나 두 개의 볼록 구성요소로 분리됨을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℝ²의 어떤 부분집합이 선형 행렬 부등식의 해집합으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 볼록 집합이 LMI로 표현 가능하기 위해 만족해야 할 대수적 또는 기하학적 조건은 무엇인가?
• RQ3 두 차원에서 LMI 표현 가능한 집합에 대한 완전한 특성화가 존재하는가?
• RQ4 경계 다항식의 위상수학적 및 대수적 성질은 LMI 표현 가능성과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 고정된 볼록성 개념을 활용해 LMI 기반 최적화가 제어 시스템에서 가지는 제약 조건을 규명할 수 있는가?

주요 결과

• ℝ² 내의 닫힌 볼록 집합 ℂ는 실근(RZ) 다항식으로 정의된 경계를 가질 때에만 LMI로 표현 가능하다.
• 두 차원에서 고정된 볼록성은 LMI 표현 가능성에 필수적이고 충분한 조건이며, m = 2인 경우 파릴로와 슈르프엘스가 제기한 문제를 완전히 해결한다.
• ℝ²에서 실근 다항식의 영점 집합 내부는 무한원점 평면과의 교차 여부에 따라 볼록이거나 두 개의 볼록 구성요소로 분리된다.
• 양의 정부호 상수 항을 가진 선형 행렬 펜슬의 행렬식은 항상 실근 다항식이며, 이러한 집합의 표준 구축 방법을 제공한다.
• 실근 다항식의 집합은 곱셈과 인수분해에 대해 닫혀 있으며, 그 영점 집합은 사영 공간에서 잘 이해된 위상수학적 구조를 가진다.
• 이 결과는 1958년 라크 추측에 영향을 미쳤으며, 루이스, 파릴로, 라마나에 의해 이 추측이 긍정적으로 해결된 데에 기여하였다.