[논문 리뷰] Linear orderings of combinatorial cubes

Boris Bukh, Anish Sevekari|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 27.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 부울 큐브 $[2]^n$ 의 모든 선형 순서가 렉소그래픽인 큰 부분큐브를 포함함을 증명하며, 보다 일반적으로 $[k]^n$ 의 모든 선형 순서가 약 $rac{(k-1)!}{2( ext{ln} 2)^k}$ 개의 표준 순서 중 하나와 일치하는 큰 부분큐브를 포함함을 보여준다. 핵심 기여는 조합적 큐브에 대한 헤일즈–지유티 타입의 라모지 결과로, 긴 수열이 단조 증가 또는 감소하는 부분수열을 포함하며, 그 부분수열이 애매한 큐브 위에 존재함을 의미한다.

ABSTRACT

We show that, for every linear ordering of $[2]^n$, there is a large subcube on which the ordering is lexicographic. We use this to deduce that every long sequence contains a long monotone subsequence supported on an affine cube. More generally, we prove an analogous result for linear orderings of $[k]^n$. We show that, for every such ordering, there is a large subcube on which the ordering agrees with one of approximately $\frac{(k-1)!}{2(\ln 2)^k}$ orderings.

연구 동기 및 목표

• 색인 집합이 단지 집합이 아니라 애매한 큐브 위에 있도록 단조 증가 또는 감소하는 부분수열을 요구함으로써 에르되시–세케레스 정리를 확장하는 것.
• $[2]^n$ 에서의 선형 순서에 대해 헤일즈–지유티 타입의 라모지 결과를 확립하여, 모든 이러한 순서가 렉소그래픽 순서로 정렬된 큰 부분큐브를 포함함을 보이는 것.
• 이 결과를 임의의 $k \geq 2$ 에 대해 $[k]^n$ 으로 일반화하여, 어떤 선형 순서에서도 반드시 나타나는 유한한 수의 표준 순서를 규명하는 것.
• 이러한 결과를 응용하여 임의의 실수 수열에서 색인 집합이 애매한 큐브를 이루는 긴 단조 부분수열이 존재함을 도출하는 것.
• 차원에 대한 부분큐브 크기의 정량적 의존성, 특히 요구되는 원소 수의 이중 지수적 성장에 대한 추측을 탐색하는 것.

제안 방법

• 표준 매개변수 단어를 사용하여 $[k]^n$ 의 $d$-부분큐브를 정의함으로써, $[k]^d$ 와의 전단사 사상에 의해 일관되게 식별 가능하게 한다.
• 선형 순서의 부분큐브에 대한 제한을 표준 전단사 사상에 의해 $[k]^d$ 에서의 선형 순서로 정의한다.
• 색인 집합 $[m]$ 에 대한 색칠에 기반하여 $[2]^n$ 의 단어 쌍을 색칠하는 데 그레고리-로스처드 정리를 적용하여 단색 구성요소를 찾는다.
• 서로 비교 불가능한 단어(동시에 $0,1$ 과 $1,0$ 쌍을 포함하는)의 개념을 도입하여, 사영 후 이미지가 애매한 큐브를 이루는 집합을 식별한다.
• 귀납법과 균일성 추론을 사용하여 두 단어가 특정 방식으로 순서가 정해지면, 그 확장도 동일한 규칙에 따라 순서가 유지됨을 보인다.
• 표준 단어와 $d$-부분큐브의 구조를 활용하여 문제를 고차원 큐브에서의 알려진 라모지 이론 결과로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 긴 수열은 색인 집합이 적절한 애매한 $d$-큐브인 단조 부분수열을 포함하는가?
• RQ2 $[2]^n$ 의 모든 선형 순서는 순서가 렉소그래픽인 큰 부분큐브를 포함하는가?
• RQ3 $[k]^n$ 에서는 유한한 수의 표준 순서가 존재하여, 모든 선형 순서가 그 중 하나와 일치하는 큰 부분큐브를 포함하는가?
• RQ4 에르되시–세케레스 정리는 단조 부분수열의 색인 집합이 조합적 큐브 위에 있어야 한다는 조건으로 강화될 수 있는가?
• RQ5 애매한 큐브 설정에서 $d$ 에 대한 요구되는 수열 길이의 최적 정량적 의존성은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 $d$ 에 대해 $m$ 이 존재하여, $m$ 개의 서로 다른 실수로 이루어진 수열은 색인 집합이 적절한 애매한 $d$-큐브인 단조 부분수열을 포함한다.
• $[2]^n$ 의 모든 선형 순서는 $[2]$ 의 두 선형 순서 중 하나에 대해 렉소그래픽 순서로 정렬된 $d$-부분큐브를 포함한다.
• $[k]^n$ 에서는 모든 선형 순서가 약 $rac{(k-1)!}{2( ext{ln} 2)^k}$ 개의 표준 순서 중 하나와 일치하는 큰 부분큐브를 포함한다.
• 이러한 부분큐브의 존재는 모든 긴 수열이 애매한 큐브 위에 지지되는 단조 부분수열을 포함함을 의미한다.
• 정리 1에서 $m$ 이 $d$ 에 대해 이중 지수적 성장함을 유추할 수는 있으나, 본 논문은 이 바OUNDS를 최적화하지는 않는다.
• 증명은 그레고리-로스처드 정리를 사용하여 단색 $2d$-부분큐브를 찾으며, 이를 통해 색인 집합에서 단색 애매한 큐브를 추출한다.