[논문 리뷰] Linear-quadratic McKean-Vlasov stochastic control problems with random coefficients on finite and infinite horizon, and applications

Matteo Basei, Huyên Pham|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 26.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한 및 무한 시간 범위에서 랜덤 계수를 가진 선형-제곱 맥컬린-블라소프 확률적 제어 문제를 해결하기 위한 새로운 마팅게일 기반 검증 방법을 개발한다. 이는 쌍방향 리카티 상미분방정식과 평균장 역방향 확률미분방정식의 결합된 시스템에 대한 존재성과 유일성을 확립하며, 명시적인 최적 제어를 도출하고, 자원 회수의 간헐적 비용이 증가함에 따라 장기적으로 자원 회수가 안정화됨을 보여준다.

ABSTRACT

We propose a simple and original approach for solving linear-quadratic mean-field stochastic control problems. We study both finite-horizon and infinite-horizon problems, and allow notably some coefficients to be stochastic. Our method is based on a suitable extension of the martingale formulation for verification theorems in control theory. The optimal control involves the solution to a system of Riccati ordinary differential equations and to a linear mean-field backward stochastic differential equation, existence and uniqueness conditions are provided for such a system. Finally, we illustrate our results through two applications with explicit solutions: the first one deals with a portfolio liquidation problem with trade crowding, and the second one considers an economic model of substitutable production goods.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 계수를 가진 선형-제곱 평균장 확률적 제어 문제를 위한 새로운 검증 방법을 개발하기 위해.
• 기존 결과를 유한 시간이 아닌 무한 시간 문제로 확장하고, 결정론적 계수를 초월한 확률적 계수를 허용하기 위해.
• 해결 과정에서 나타나는 리카티 상미분방정식과 평균장 역방향 확률미분방정식의 쌍방향 시스템에 대한 존재성 및 유일성 조건을 설정하기 위해.
• 이 프레임워크를 두 가지 경제 문제에 적용하기 위해: 거래 혼잡이 있는 포트폴리오 청산과 대체 가능성이 있는 고갈 가능한 자원 생산.
• 특히 자원 고갈과 대체 가능성의 맥락에서 최적 제어의 장기적 행동을 분석하기 위해.

제안 방법

• 랜덤 계수를 가진 평균장 설정으로 약한 마팅게일 최적성 원리를 적용한다.
• 리카티 상미분방정식과 선형 평균장 역방향 확률미분방정식(MFBSDE)을 연결하는 시스템을 사용한다.
• 마팅게일 공식을 적용하여 최적성에 대한 검증 정리를 도출하며, 고전적 방법을 맥컬린-블라소프 맥락으로 확장한다.
• 피드백 형태로 명시적인 최적 제어를 유도한다: $\alpha_t^* = K_\eta(X_t^* - \mathbb{E}[X_t^*]) + \Lambda_\varepsilon\mathbb{E}[X_t^*] + \text{additional terms involving } Y_t \text{ and } P_t^0$.
• 적절한 적분 가능성 및 양성 조건 하에서 리카티-MFBSDE 시스템의 해가 존재하고 유일함을 입증한다.
• 해를 이용하여 장기 균형 행동을 유도하며, 평균 정적 자원 수준과 무한 시간 범위에서의 평균 추출량이 0으로 수렴함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤 계수를 가진 선형-제곱 맥컬린-블라소프 제어 문제를 해결하기 위해 마팅게일 검증 원리를 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 결합된 리카티-MFBSDE 시스템의 해에 대한 존재성과 유일성 조건은 무엇인가?
• RQ3 무한 시간 범위의 경우 최적 제어는 어떻게 행동하는가? 특히 장기적 자원 보유량과 추출률 측면에서 어떻게 되는가?
• RQ4 간헐적 비용(파라미터 $\eta$)과 제품 대체 가능성($\varepsilon$)은 장기적 자원 보유 수준에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 거래 혼잡이 있는 포트폴리오 청산과 고갈 가능한 자원 회수와 같은 실용적 응용에 대해 명시적인 해를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 최적 제어는 상태와 그 평균의 선형 피드백에 더하여 평균장 역방향 확률미분방정식의 해를 포함하는 항들로 명시적으로 기술된다.
• 장기 평균 자원 보유 수준 $\bar{x}_\infty$ 는 대체 가능성 파라미터 $\varepsilon$ 와는 무관하게 간헐적 비용 보상 $\eta$ 에만 의존한다.
• $\bar{x}_\infty$ 는 $\eta$ 가 증가함에 따라 감소하며, $\eta \to \infty$ 일 때 $x_0 - \bar{p}/c$ 로 수렴한다. 여기서 $\bar{p}$ 는 대체재 가격이다.
• 만약 $cx_0 > \bar{p}$ 라면, 장기 평균 자원 보유 수준은 양수를 유지하며, 이는 양의 호틀링 임금으로 인해 자원의 지속 가능성에 기여함을 시사한다.
• 평균 추출률 $\mathbb{E}[\alpha_t^*]$ 는 $t \to \infty$ 일 때 0으로 수렴하며, 장기적으로 추출이 중단됨을 나타낸다.
• 제시된 적분 가능성 및 양성 조건 하에서 리카티 상미분방정식과 MFBSDE의 시스템은 유일한 해를 가지며, 이는 제어 문제의 잘 정의됨을 보장한다.