[논문 리뷰] Linear Recurrence Sequences With Indices in Arithmetic Progression and Their Sums

Daniel Birmajer, Juan B. Gil외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 23.

Advanced Mathematical Theories and Applications참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 부분 벨 다항식과 원래 계수의 루카스 변환을 사용하여 등차수열의 인덱스를 가진 선형 재귀 수열의 부분수열에 대한 명시적 재귀 관계를 유도한다. 또한 이러한 수열의 부분합에 대한 닫힌 형태의 공식을 제공하여 피보나치, 루카스, 트리보나치 수열과 같은 수열에 대해 등차수열에 걸친 합을 효율적으로 계산할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

For an arbitrary homogeneous linear recurrence sequence of order d with constant coefficients, we derive recurrence relations for all subsequences with indices in arithmetic progression. The coefficients of these recurrences are given explicitly in terms of partial Bell polynomials that depend on at most d-1 terms of the generalized Lucas sequence associated with the given recurrence. We also provide an elegant formula for the partial sums of such sequences and illustrate all of our results with examples of various orders, including common generalizations of the Fibonacci numbers.

연구 동기 및 목표

• 임의의 순서 d의 동차 선형 재귀 수열에 대해 부분수열 (a_{mn+r})의 명시적 재귀 관계를 유도하는 것.
• 이러한 새로운 재귀의 계수를 부분 벨 다항식과 원래 계수의 루카스 변환으로 표현하는 것.
• 이러한 수열의 부분합에 대한 닫힌 형태의 공식을 제공하여 등차수열에 걸친 효율적 합산을 가능하게 하는 것.
• 피보나치, 루카스, 트리보나치 수열에 대해 알려진 결과들을 하나의 프레임워크로 통합하고 일반화하는 것.

제안 방법

• 계수 (c1,…,cd)의 루카스 변환 (ân)을 부분 벨 다항식을 사용하여 계산하며, 이는 계수의 계승을 포함한다.
• 수열 (ân)이 (an)과 동일한 재귀를 만족하고, ân = ∑αj^n 형태로 표현될 수 있음을 증명한다. 여기서 αj는 특성다항식의 근이다.
• 루카스 변환된 수열 값 âm, â2m, ..., â( d-1)m의 부분 벨 다항식을 통해 γk로 표현된 계수를 사용하여 (a_{mn+r})의 재귀를 유도한다.
• 생성함수와 역변환을 사용하여 ∑_{j=0}^n aj 를 a_{n+1}, ..., a_{n+d} 와 루카스 변환으로 표현하는 일반 공식을 유도한다.
• 재귀 공식과 합 공식을 결합하여 임의의 m과 r에 대해 ∑_{j=0}^n a_{mj+r} 를 효율적으로 계산한다.
• 피보나치, k-피보나치, 루카스, 트리보나치 수열 등의 예시를 제시하여 기존의 알려진 항등식과의 일致성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 순서 d의 동차 선형 재귀 수열에 대해 부분수열 (a_{mn+r})이 만족하는 선형 재귀의 계수는 어떻게 닫힌 형태로 표현할 수 있는가?
• RQ2 루카스 변환이 등차수열의 인덱스를 가진 부분수열의 재귀 구조를 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 초기 조건에 관계없이 선형 재귀 수열의 부분합 ∑_{j=0}^n a_j 에 대해 일반적인 닫힌 형태의 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 유도된 부분수열 및 부분합 공식은 일반화된 피보나치 및 트리보나치 수열로 어떻게 확장되는가?
• RQ5 수열 (a_{mn+r})의 재귀를 결정하기 위해 필요한 루카스 변환의 최소 항목 수는 얼마인가?

주요 결과

• 부분수열 (a_{mn+r})는 순서 d의 선형 재귀를 만족하며, 계수 γk는 다음과 같이 명시적으로 주어진다: γk = ∑_{j=1}^k [(-1)^{j+1}/k!] B_{k,j}(0!âm, 1!â2m, ..., (k-j)!â(k-j+1)m), 여기서 ân은 (c1,…,cd)의 루카스 변환이다.
• 부분합 ∑_{j=0}^n a_j 는 a_{n+1}, ..., a_{n+d} 의 선형 조합으로 표현되며, 이는 반복적 합산 없이 직접 계산이 가능하게 한다.
• 순서 2 재귀의 경우, 합 ∑_{j=0}^n a_{mj+r} 는 a_{m(n+2)+r}, a_{m(n+1)+r}, a_{mn+r}, a_r 와의 유리함수로 주어지며, 계수는 âm 과 c2^m 에 의존한다.
• 순서 3 재귀의 경우, 합 ∑_{j=0}^n a_{mj+r} 는 âm 과 â2m 를 사용하여 표현되며, 세 항과 초기값에 의존하는 보정항 I_{m,r} 을 포함하는 공식이 존재한다.
• 유도된 공식은 피보나치 및 트리보나치 수열에 대해 알려진 항등식을 복원한다. 예를 들어, ∑_{j=0}^n t_j = (t_{n+2} + t_n - 1)/2 와 ∑_{j=0}^n t_{2j} = (t_{2n+1} + t_{2n})/2 와 같은 식은 일致성을 확인한다.
• 이 방법은 (a_{mn+r})의 재귀를 결정하기 위해 âm, â2m, ..., â( d-1)m 만을 필요로 하므로 전체 수열 생성에 비해 계산 복잡도를 감소시킨다.