[논문 리뷰] Linear Regression with Weak Exogeneity

Anna Mikusheva, Mikkel Sølvsten|arXiv (Cornell University)|2023. 08. 17.

Advanced Statistical Methods and ModelsMathematics인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 약한 외생성 조건 하에서 다수의 회귀변수를 가진 선형 시계열 모형에서 OLS 추정의 1차 순위 편향을 규명하며, 결과가 미래의 회귀변수로 피드백되는 구조로 인해 점점 더 비일관성이 발생함을 밝힌다. 이에 따라 편향을 보정하기 위해 의도적으로 내생적인 도구변수를 사용하는 새로운 추정량을 제안하여, 정밀도를 희생시키지 않은 채 일관성과 점근적 정규성을 확보한다.

ABSTRACT

This paper studies linear time series regressions with many regressors. Weak exogeneity is the most used identifying assumption in time series. Weak exogeneity requires the structural error to have zero conditional expectation given the present and past regressor values, allowing errors to correlate with future regressor realizations. We show that weak exogeneity in time series regressions with many controls may produce substantial biases and even render the least squares (OLS) estimator inconsistent. The bias arises in settings with many regressors because the normalized OLS design matrix remains asymptotically random and correlates with the regression error when only weak (but not strict) exogeneity holds. This bias's magnitude increases with the number of regressors and their average autocorrelation. To address this issue, we propose an innovative approach to bias correction that yields a new estimator with improved properties relative to OLS. We establish consistency and conditional asymptotic Gaussianity of this new estimator and provide a method for inference.

연구 동기 및 목표

• 약한 외생성 조건 하에서 다수의 회귀변수를 가진 선형 시계열 모형에서 OLS의 점근적 행동을 조사하는 것.
• 결과가 미래의 회귀변수로 피드백되는 구조로 인해 OLS가 언제 비일관성이 되는지 조건을 규명하는 것.
• OLS가 실패하는 상황에서 일관성을 회복하고 타당한 추론을 가능하게 하는 편향 보정 추정량을 개발하는 것.
• 다수의 자기상관 구조를 가진 자동차 제어 변수를 포함하는 현실적인 거시경제 모형 응용에서 OLS 편향의 크기와 방향을 평가하는 것.
• OLS와 신규 추정량 간의 유한 표본 성능을 편향, 분산, 신뢰구간 커버리지 측면에서 비교하는 것.

제안 방법

• 약한 외생성 조건 하에서 OLS 편향의 주요 항을 유도하며, 이는 정규화된 설계행렬 $\frac{1}{T}X'X$ 의 점근적 랜덤성에서 기인함을 보여준다.
• 현재의 회귀변수와 그들의 리드를 선형 조합으로 사용하여 '가짜' 도구변수를 만드는 새로운 추정량을 제안한다.
• 도구변수의 내생성으로 인한 편향이 약한 외생성 조건으로 인한 OLS 편향과 정확히 일치하여 상쇄되도록 도구변수를 구성한다.
• OLS가 비일관성이 되는 동일한 조건 하에서 신규 추정량의 점근적 일관성과 조건부 점근적 정규성을 확립한다.
• 수정된 추정량의 점근적 분포를 기반으로 추론 방법을 제공하며, 표준오차와 신뢰구간을 포함한다.
• 단일 기간 지연 피드백 외에도 다기간 피드백 효과가 존재하는 설정으로 편향 보정을 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약한 외생성 조건 하에서 다수의 회귀변수를 가진 선형 시계열 모형에서 OLS가 언제 비일관성이 되는가?
• RQ2 OLS 편향의 크기는 회귀변수의 수와 그들의 자기상관 구조에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 편향 보정을 통해 분산을 증가시키지 않고도 일관성을 회복할 수 있는 추정량을 구성할 수 있는가?
• RQ4 OLS와 제안된 추정량은 특히 신뢰구간 커버리지와 통계적 유의성 측면에서 어떻게 다름이 있는가?
• RQ5 일반적인 거시경제 모형 응용에서 결과가 미래의 회귀변수로 피드백되는 현상은 얼마나 흔한가?

주요 결과

• 약한 외생성 조건 하에서 다수의 회귀변수를 가진 선형 시계열 모형에서 OLS 추정량은 비록 모든 변수가 정적(stationary)이면서 피드백이 단일 기간으로 제한되더라도 점점 더 비일관성이 된다.
• OLS 편향은 1차 순위이며, 회귀변수의 수와 그들의 한 기간 앞선 선형 예측 가능성에 따라 증가한다. 일반적으로 생각하는 것처럼 2차 순위가 아니라.
• 제안된 편향 보정 추정량은 OLS가 비일관성이 되는 동일한 조건 하에서 일관성과 점근적 정규성을 확보한다.
• 시뮬레이션 결과, 신규 추정량의 표준편차는 OLS와 매우 유사하며 명확한 순서가 없음을 보여, 편향 보정으로 인한 분산 증가가 없음을 시사한다.
• 90번째 백분위수 시뮬레이션에서 OLS와 신규 추정량 간의 차이는 통계적으로 유의미하며, $K > 75$ 일 때 OLS 추정치와 IV 추정치는 서로의 95% 신뢰구간 외부에 위치한다.
• OLS와 신규 추정량 간의 차이의 표준편차는 각각의 표준오차보다 5배 이상 작다. 이는 대부분의 차이가 표집 변동성 때문이 아니라 편향 때문임을 시사한다.