[논문 리뷰] Linear response theory for quantum open systems

Jianhua Wei, YiJing Yan|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 30.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 파울리의 영향 함수와 계층적 운동 방정식(HEOM)을 사용하여 양자 개방 시스템에 대한 선형 반응 이론을 개발하여, 시간에 따라 변하지 않는 외부 장이 가해지지 않은 상태에서도 안정 상태의 동적 관측량—예를 들어 스펙트럼 함수—를 직접 계산할 수 있게 한다. 주요 기여는 쿠보의 선형 반응 이론을 개방된 양자 시스템으로 일반화한 형식론을 제공하며, 스펙트럼 함수는 HEOM 공간 내에서의 변동-소산 관계를 통해 유도된다.

ABSTRACT

Basing on the theory of Feynman's influence functional and its hierarchical equations of motion, we develop a linear response theory for quantum open systems. Our theory provides an effective way to calculate dynamical observables of a quantum open system at its steady-state, which can be applied to various fields of non-equilibrium condensed matter physics.

연구 동기 및 목표

• 평형 폐쇄 시스템을 넘어서 시간 이동 대칭성을 갖는 양자 개방 시스템으로 선형 반응 이론을 확장하기 위해.
• 시간에 따라 변하지 않는 외부 장을 적용하지 않고도 정적 개방 시스템의 동적 관측량—예를 들어 상관 함수 및 스펙트럼—을 계산하는 데 도전하는 것.
• 비평형 응집물리, 분자 전자공학, 나노물리학 분야에 실용적인 프레임워크를 제공하기 위해.
• 계층적 운동 방정식(HEOM)을 통한 영향 함수 형식론과 개방된 양자 시스템에서의 선형 반응 간의 연결 고리를 설정하기 위해.

제안 방법

• 파울리의 영향 함수 형식론에 기반하여 감소 밀도 연산자(RDO) 및 보조 영향 함수에 대한 계층적 운동 방정식(HEOM)을 유도한다.
• 영향 함수의 인수 분해 성질: $ F = F_A \cdot F_B $, 즉 $ \Phi = \Phi_A + \Phi_B $ 를 활용하여 다수의 프로브 장에 대한 선형 반응을 처리한다.
• 시간 진동수 초과 연산자 $ \mathcal{리우빌 공간의 전파자 형식론을 도입하여, HEOM 공간 내에서의 동역학 해법을 가능하게 한다.
• 전파자 $ \hat{\boldsymbol{\mathcal{G}}}_s(t) $ 를 사용하여 외부 힘에 의해 유도된 시간 순서 정렬된 시스템 진동수의 진동수를 정의함으로써 반응 상관 함수 $ \widetilde{C}_{AB}(t) $ 를 구성한다.
• HEOM 공간 내에서의 변동-소산 관계를 사용하여 스펙트럼 함수 $ J_{AB}(\omega') $ 를 유도한다: $ J_{AB}(\omega) = \frac{1}{2\pi}(1 + e^{-\beta\omega}) \langle\!\langle \boldsymbol{A}(0) | \hat{\boldsymbol{\mathcal{G}}}_s(\omega) \boldsymbol{B} | \boldsymbol{\rho}_{eq}(T) \rangle\!\rangle $.
• 모든 상관 함수를 계산하기 위해 필요한 평형 밀도 연산자 $ \boldsymbol{\rho}_{eq}(T) $ 를 구하기 위해 안정 상태 조건 $ \hat{\boldsymbol{\varLambda}}_s \boldsymbol{\rho}_{eq}(T) = 0 $ 을 해결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간 이동 불변성이 일반적인 의미에서 성립하지 않는 비평형 상태에 있는 양자 개방 시스템으로 선형 반응 이론을 일반화할 수 있는가?
• RQ2 시간에 따라 변하지 않는 외부 장이 없이도 정적 개방 시스템에 대해 스펙트럼 함수와 같은 동적 관측량을 직접 계산할 수 있는가?
• RQ3 영향 함수의 인수 분해 성질이 다수의 프로브 장에 대한 선형 반응을 가능하게 하는 데서 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ4 HEOM의 맥락에서 변동-소산 정리가 어떻게 재구성될 수 있는가?
• RQ5 리우빌 공간 전파자 $ \hat{\boldsymbol{\mathcal{G}}}_s(\omega) $ 와 스펙트럼 함수 $ J_{AB}(\omega) $ 간의 정확한 연결 고리는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 HEOM 형식론을 사용하여 양자 개방 시스템에 대한 선형 반응 이론을 수립하여, 시간에 따라 변하지 않는 외부 장이 없이도 안정 상태의 동적 관측량을 직접 계산할 수 있게 한다.
• 스펙트럼 함수 $ J_{AB}(\omega) $ 는 $ J_{AB}(\omega) = \frac{1}{2\pi}(1 + e^{-\beta\omega}) \mathrm{Tr}[A^+ \sigma(\omega)] $ 로 유도되며, 여기서 $ \sigma(\omega) $ 는 응답 연산자의 푸리에 변환된 형태이다.
• HEOM 공간 내에서의 변동-소산 관계는 명시적으로 확인되었으며, $ J_{AB}(\omega) = \frac{1}{\pi}(1 + e^{-\beta\omega}) C_{AB}(\omega) $ 로 표현되어 스펙트럼 함수를 상관 함수 $ C_{AB}(\omega) $ 와 연결한다.
• 평형 밀도 연산자 $ \boldsymbol{\rho}_{eq}(T) $ 는 $ \hat{\boldsymbol{\varLambda}}_s \boldsymbol{\rho}_{eq}(T) = 0 $ 을 해결함으로써 확보되며, 이는 모든 응답 함수 계산에 필수적이다.
• 이 형식론을 통해 상관 함수 $ \widetilde{C}_{AB}(t) $ 에서 유도된 후행 그린 함수 $ G_{AB}^r(t) $ 는 $ G_{AB}^r(t) = -i\theta(t)[\widetilde{C}_{AB}(t) + \widetilde{C}_{BA}(-t)] $ 를 통해 계산할 수 있으며, 페르미온 시스템에도 적용 가능하다.
• 이 방법은 HEOM 프레임워크에 기반하여 분자 전자공학, 나노물리학, many-body 물리학 분야의 광범위한 비평형 양자 시스템에 적용 가능하다.