[논문 리뷰] Linear Response Theory for Random Schrödinger Operators and Noncommutative Integration

Nicolas Dombrowski, François Germinet|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 28.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 3인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비순차적 양자 시스템에서 전기 전도도에 대한 쿠보 공식을 비가환 L^p 공간을 사용하여 엄밀하고 체계적으로 유도하며, 이전의 접근 방식보다 더 명확한 수학적 프레임워크를 제공한다. 페르미 수준이 국소 스펙트럼 영역에 있을 경우, 양자 홀 효과에 대한 쿠보-스트라타 공식을 복원하며, 자기장이 있는 랜덤 슈뢰딩거 연립계의 맥락에서 선형 반응 이론을 검증한다.

ABSTRACT

We consider an ergodic Schrödinger operator with magnetic field within the non-interacting particle approximation. Justifying the linear response theory, a rigorous derivation of a Kubo formula for the electric conductivity tensor within this context can be found in a recent work of Bouclet, Germinet, Klein and Schenker. If the Fermi level falls into a region of localization, the well-known Kubo-Streda formula for the quantum Hall conductivity at zero temperature is recovered. In this review we go along the lines of but make a more systematic use of noncommutative Lp-spaces, leading to a somewhat more transparent proof.

연구 동기 및 목표

• 자기장이 존재하는 비순차적 양자 시스템에서 전기 전도도에 대한 선형 반응 이론을 수학적으로 엄밀히 유도하는 것.
• 비가환 L^p 공간을 체계적으로 활용하여 이전의 작업(BoGKS)의 수학적 프레임워크를 단순화하고 명확화하는 것.
• 시간에 따라 변하는 전기장으로의 유도를 확장하여 교류 전도도를 다루고, 영 온도에서 전도도 텐서의 존재를 확립하는 것.
• 페르미 에너지가 국소 스펙트럼 영역에 있을 경우, 유도된 공식이 양자 홀 전도도에 대한 쿠보-스트라타 공식으로 축소되는 조건을 확보하는 것.

제안 방법

• 랜덤 슈뢰딩거 시스템에서 공변 가측 연산자를 다루기 위해 비가환 L^p 공간과 바르너 링크스 대수의 형식적 접근.
• 광범위하게 스위치된 전기장 하에서 밀도 행렬의 시간 진화를 기술하기 위해 두아멜 공식의 사용.
• 영 전기장 강도에서 전기장에 대한 밀도 행렬의 미분을 통해 전류 연산자의 도출.
• 아디아바틱 근사에서 전도도 텐서를 계산하기 위해 스펙트럼 정리와 리졸베ント 기법의 적용.
• 바르너 링크스 대수 위에서의 추적 $τ$ 를 사용하여 전도도를 스펙트럼 프로젝션과 그 도함수를 포함하는 교환자들의 추적으로 정의.
• 아디아바틱 근사와 최종 쿠보 공식의 정당성을 확보하기 위해 L^p 수렴과 강한 연산자 위상 수렴의 확립.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가환 적분을 사용하여 랜덤 슈뢰딩거 연립계에서 전기 전도도에 대한 선형 반응 이론을 엄밀히 유도할 수 있는가?
• RQ2 비가환 L^p 공간의 사용이 쿠보 공식 유도의 수학적 구조를 어떻게 단순화하고 명확화하는가?
• RQ3 유도된 쿠보 공식이 양자 홀 효과에 대한 쿠보-스트라타 공식으로 축소되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 시간에 따라 변하는 전기장에서 전도도 텐서의 거동, 특히 교류 전도도 영역에서의 거동은 어떠한가?
• RQ5 국소화된 시스템의 맥락에서 아디아바틱 근사가 엄밀히 정당화되어 유한한 전도도를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 비가환 L^p 공간을 사용하여 전기 전도도 텐서에 대한 쿠보 공식을 엄밀히 유도하였으며, 이는 이전의 접근 방식보다 더 투명한 증명을 제공한다.
• 전도도의 아디아바틱 근사가 존재하며, 영 온도에서 직접 전도도의 표준 표현을 도출함을 보였다.
• 페르미 에너지가 스펙트럼의 국소 영역에 있을 경우, 유도된 공식은 양자 홀 효과에 대한 쿠보-스트라타 공식으로 축소된다.
• 교류 전도도는 공식 내에서 리졸베ント를 수정하여 도출되며, 주파수의 극한이 0으로 수렴하는 경우 기존 기법으로 복원 가능하다.
• 전도도 텐서는 스펙트럼 프로젝션과 그 도함수의 교환자들을 포함하는 추적으로 표현된다: $\sigma_{jk}^{(E_F)} = -i\mathcal{T}\left\{P^{(E_F)}\left[\partial_j P^{(E_F)}, \partial_k P^{(E_F)}\right]\right\}$.
• 아디아바틱 근사의 수렴은 L^2에서의 강한 연산자 수렴과 리우비illian $\mathcal{L}_2$의 스펙트럼 이론을 사용하여 정당화되었다.