[논문 리뷰] Linear Scaling Real Time TDDFT in the CONQUEST Code

Conn O’Rourke, David R. Bowler|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 23.

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한 줄 요약

이 논문은 CONQUEST 코드에서 밀도 행렬 전파 방법을 사용하는 선형 스케일링 실시간 시간의존 밀도함수이론(TDDFT) 방법을 제시한다. 밀도 행렬에 대해 공간적 절단을 적용함으로써, 계산 비용이 시스템 크기에 대해 선형으로 증가하면서도 유니타리성과 정확한 광학 스펙트럼을 유지할 수 있다. 이로 인해 기존 TDDFT의 한계를 초월한 대규모 시스템의 효율적 시뮬레이션이 가능해진다.

ABSTRACT

Real time, density matrix based, time dependent density functional theory proceeds through the propagation of the density matrix, as opposed to the Kohn-Sham orbitals. It is possible to reduce the computational workload by imposing spatial cut-off radii on sparse matrices, and the propagation of the density matrix in this manner provides direct access to the optical response of very large systems, which would be otherwise impractical to obtain using the standard formulations of TDDFT. Following a brief summary of our implementation, along with several benchmark tests illustrating the validity of the method, we present an exploration of the factors affecting the accuracy of the approach. In particular we investigate the effect of basis set size and matrix truncation, the key approximation used in achieving linear scaling, on the propagator unitarity and optical spectra. Finally we illustrate that, with an appropriate density matrix truncation range applied, the computational load scales linearly with the system size and discuss the limitations of the approach.

연구 동기 및 목표

• 표준 TDDFT가 비효율적인 대규모 양자 시스템에서의 광학 반응 계산을 효율적으로 수행하고자 한다.
• 밀도 행렬의 공간적 절단을 활용하여 선형 스케일링 TDDFT 접근법을 개발하고자 한다.
• 밀도 행렬의 시간 전파 과정에서 유니타리성을 유지함으로써 수치적 안정성과 정확성을 확보하고자 한다.
• 기저함수 집합의 크기와 행렬 절단이 스펙트럼 정확도와 전파 정밀도에 미치는 영향을 조사하고자 한다.

제안 방법

• 직접 궤도 전파를 피하기 위해, 시간 순서화 지수 함수 진화를 사용하여 밀도 행렬을 실시간으로 전파한다.
• 밀도 행렬에 대해 절단 반경을 적용하여 희박성과 계산 비용을 감소시킨다.
• 각 시간 단계에서 현재의 밀도 행렬을 사용하여 코흐-샴 해밀토니안을 갱신한다.
• 유니타리성과 수치적 안정성을 유지하기 위해 두 번째 차수 시간 적분기를 사용하여 시간 진화를 수행한다.
• 정확성과 계산 효율성의 균형을 맞추기 위해 기저함수 집합의 절단을 제어한다.
• 이 방법은 비직교 기저함수 집합과 선형 스케일링 기법을 사용하는 CONQUEST 코드에 구현되어 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 밀도 행렬 절단 범위의 선택이 실시간 TDDFT에서 광학 스펙트럼 정확도에 미치는 영향은 어떠한가?
• RQ2 기저함수 집합의 크기가 절단된 밀도 행렬 접근법에서 광학 반응 성질의 수렴에 얼마나 영향을 미치는가?
• RQ3 밀도 행렬의 공간적 절단이 시간 전파 중에 유니타리성을 유지하는가?
• RQ4 시스템 크기에 대해 선형 스케일링을 달성하면서도 스펙트럼 정확도를 유지할 수 있는가?
• RQ5 대규모 시스템을 기술할 때 절단 근사의 한계는 무엇인가?

주요 결과

• 적절한 밀도 행렬 절단 범위를 적용할 경우, 계산 비용이 시스템 크기에 대해 선형으로 증가한다.
• 절단 반경이 충분히 크다면, 심지어 상당한 수준의 행렬 절단이 이루어져도 광학 스펙트럼의 정확도가 유지된다.
• 절단 반경을 적절히 선택할 경우, 시간 전파기의 유니타리성이 매우 정밀하게 유지된다.
• 광학 스펙트럼의 정확도는 기저함수 집합의 크기와 행렬 절단의 정도에 민감하게 영향을 받는다.
• 이 접근법은 기존 표준 TDDFT 수식으로는 계산이 불가능한 시스템의 광학 반응 계산을 가능하게 한다.
• 절단을 신중하게 제어할 경우, 스펙트럼 정밀도 손실이 최소화되면서도 대규모 시스템에 대해 뛰어난 강건성과 확장성을 보여준다.