[논문 리뷰] Linear, Second order and Unconditionally Energy stable schemes for The Viscous Cahn-Hilliard Equation with hyperbolic relaxation

Xiaofeng Yang, Jia Zhao|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 09.

Solidification and crystal growth phenomena참고 문헌 30인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비압축성 Cahn-Hilliard 방정식에 대한 초과성 항을 포함한 경우에 대해, 불변 에너지 제곱화(IEQ) 접근법을 사용하여 두 개의 두 번째 차수, 선형, 조건부 에너지 안정적인 시간 적분 스킴을 제안한다. 비선형 항을 반명시적으로 다룸으로써, 스킴은 에너지 안정성을 보장하고 매 시간 단계에서 대칭 양의 정합 선형 시스템만을 풀게 되어, 큰 시간 간격을 유지하면서도 에너지 소산 구조를 유지할 수 있다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the numerical approximations for the fourth order viscous Cahn-Hilliard equation with the hyperbolic relaxation. The main challenge in solving such a diffusive system numerically is how to develop high order temporal discretization for the hyperbolic and nonlinear terms that allows large time step while preserving the unconditional energy stability, i.e., the energy dissipative structure at the time-discrete level. We resolve this issue by developing two second order time marching schemes using the recently developed Invariant Energy Quadratization approach where all nonlinear terms are treated semi-explicitly. In each time step, one only needs to solve a linear system that is symmetric positive definite. We rigorously prove all proposed schemes are unconditionally energy stable, which is further verified by time step refinement test numerically. Moreover, a number of 2D and 3D numerical simulations are presented to demonstrate the stability, accuracy and efficiency of the proposed schemes.

연구 동기 및 목표

• 비압축성 Cahn-Hilliard 방정식에 초과성 항이 포함된 경우에 대해 조건부 에너지 안정성을 유지하는 고차수 시간 이산화 방법을 개발하기.
• 비선형 항과 초과성 항이 존재하는 상황에서 큰 시간 간격과 에너지 안정성 간의 균형을 맞추는 데 도전 과제를 해결하기.
• 매 시간 단계에서 대칭 양의 정합 선형 시스템을 갖는 수치 스킴을 설계하여 계산 효율성을 확보하기.
• 시간 이산화 수준에서 제안된 스킴의 에너지 안정성을 엄밀하게 증명하기.
• 2차원 및 3차원 광범위한 수치 시뮬레이션을 통해 정확도, 안정성, 효율성 검증하기.

제안 방법

• 비선형 항을 제곱형 에너지 구조로 재구성하기 위해 불변 에너지 제곱화(IEQ) 접근법을 사용한다.
• IEQ로 재구성된 시스템에 크랭크-니콜슨 유사 스킴을 적용하여 두 번째 차수 시간 이산화를 달성한다.
• 모든 비선형 항은 반명시적으로 다루어지며, 비선형 해법을 피하고 선형 시스템의 구조를 유지한다.
• 결과적으로 유도된 시간 이산화 시스템은 매 시간 단계에서 효율적으로 해결 가능한 대칭 양의 정합 선형 시스템을 이룬다.
• 이산 에너지가 시간에 따라 조건부로 감소함을 보여줌으로써 에너지 안정성을 엄밀히 증명한다.
• 스킴은 2차원 및 3차원 시뮬레이션을 통해 구현 및 테스트되어 안정성과 수렴성 검증을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비압축성 Cahn-Hilliard 방정식에 초과성 항이 포함된 경우에도 두 번째 차수 시간 이산화를 달성하면서 조건부 에너지 안정성을 유지할 수 있는가?
• RQ2 IEQ를 사용하여 비선형 항을 반명시적으로 다룰 수 있는가? 이는 선형 시스템의 구조 유지와 비선형 해법 방지를 가능하게 하는가?
• RQ3 에너지 안정성을 희생시키지 않고도 큰 시간 간격을 허용하는 스킴을 설계할 수 있는가?
• RQ4 2차원 및 3차원 시뮬레이션에서 제안된 스킴의 정확도와 효율성은 어떠한가?
• RQ5 시간 간격 조정 테스트는 두 번째 차수 수렴성과 조건부 에너지 안정성을 확인하는가?

주요 결과

• 시간 간격 조정 테스트를 통해 제안된 스킴이 시간에 대해 두 번째 차수 정확도를 확보함을 확인하였다.
• 스킴은 조건부 에너지 안정성을 가지며, 이산 에너지가 매 시간 단계에서 단조롭게 감소함을 보였다.
• 매 시간 단계에서 대칭 양의 정합 선형 시스템 한 번만 풀면 되어 계산 효율성이 보장됨.
• 2차원 및 3차원 수치 시뮬레이션을 통해 장기간 통합 동안 스킴의 강력한 안정성과 정확도를 입증함.
• IEQ 기반 접근법은 비선형 항과 초과성 항을 효과적으로 처리하면서도 선형 구조와 에너지 안정성을 유지함.
• 선형 시스템의 구조와 조건부 안정성 덕분에 스킴은 대규모 시뮬레이션에 적합하며 효율적임.