[논문 리뷰] Linear-Size Hopsets with Small Hopbound, and Distributed Routing with Low Memory

Becker, Ruben, Karrenbauer, Andreas외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 01.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 20인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 임의의 ε > 0에 대해 β = O((log log n / ε)^{log log n})인 선형 크기의 힙셋을 제안하며, 힙바운드를 크게 감소시켰다. 이 방법은 분산 및 PRAM 모델에서 계층적 클러스터링과 포인터 점프 기법을 사용하여 다항로그 시간 내에 구축 가능하며, 정점당 O(n^{1/k}) 메모리와 O(k) 스트레치를 갖는 거의 최적의 라우팅을 실현한다.

ABSTRACT

For a positive parameter $β$, the $β$-bounded distance between a pair of vertices $u,v$ in a weighted undirected graph $G = (V,E,ω)$ is the length of the shortest $u-v$ path in $G$ with at most $β$ edges, aka {\em hops}. For $β$ as above and $ε>0$, a {\em $(β,ε)$-hopset} of $G = (V,E,ω)$ is a graph $G' =(V,H,ω_H)$ on the same vertex set, such that all distances in $G$ are $(1+ε)$-approximated by $β$-bounded distances in $G\cup G'$. Hopsets are a fundamental graph-theoretic and graph-algorithmic construct, and they are widely used for distance-related problems in a variety of computational settings. Currently existing constructions of hopsets produce hopsets either with $Ω(n \log n)$ edges, or with a hopbound $n^{Ω(1)}$. In this paper we devise a construction of {\em linear-size} hopsets with hopbound $(\log n)^{\log^{(3)}n+O(1)}$. This improves the previous bound almost exponentially. We also devise efficient implementations of our construction in PRAM and distributed settings. The only existing PRAM algorithm \cite{EN16} for computing hopsets with a constant (i.e., independent of $n$) hopbound requires $n^{Ω(1)}$ time. We devise a PRAM algorithm with polylogarithmic running time for computing hopsets with a constant hopbound, i.e., our running time is exponentially better than the previous one. Moreover, these hopsets are also significantly sparser than their counterparts from \cite{EN16}. We use our hopsets to devise a distributed routing scheme that exhibits near-optimal tradeoff between individual memory requirement $ ilde{O}(n^{1/k})$ of vertices throughout preprocessing and routing phases of the algorithm, and stretch $O(k)$, along with a near-optimal construction time $\approx D + n^{1/2 + 1/k}$, where $D$ is the hop-diameter of the input graph.

연구 동기 및 목표

• 크기가 O(n^{1+1/κ})이고 힙바운드 β가 하위다항식인 (β, ε)-힙셋을 구성하기.
• 상수 힙바운드를 갖는 힙셋을 구축하기 위해 PRAM 모델에서 다항로그 시간을 달성하기.
• 정점당 O(n^{1/k}) 메모리 사용과 O(k) 스트레치를 갖는 분산 라우팅 체계 설계하기.
• 특히 선형 크기의 힙셋에 대해 힙셋 크기와 힙바운드 사이의 상호 교환 관계를 극복하기.
• 분산 구축 시간에서 아웃라이어 비율 Λ에 대한 의존성을 제거하여 순수 조합적 실행 시간 확보하기.

제안 방법

• 힙바운드를 감소시키기 위해 가상의 트리와 무거운-легкий 분해를 사용하여 계층적 클러스터를 구성한다.
• 분산 환경에서 포인터 점프 기법을 활용하여 O(log n) 라운드 내에 서브트리 크기와 레이블을 전파한다.
• 재귀적 클러스터링 접근법을 통해 β = O((log κ / ε)^{log κ + O(1)})인 (β, ε)-힙셋을 구축하며, κ = log n일 때 선형 크기를 달성한다.
• PRAM 모델에서 다항로그 시간 O((log n / ε)^{log κ + 1/ρ + O(1)})와 O(|E| · n^ρ)의 작업량을 갖는 구축을 구현한다.
• 힙셋을 활용해 정점당 레이블 크기 O(log n), 라우팅 테이블 크기 O(1)인 고밀도 라우팅 체계를 설계한다.
• CONGEST 모델에서 분산 포인터 점프를 적용하여 O(√n + D) 라운드 내에 레이블과 서브트리 크기를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 크기의 힙셋을 구축할 수 있으며, n에 대해 하위다항식인 힙바운드를 갖는가? 이는 이전 연구의 nΩ(1) 한계를 초월하는가?
• RQ2 상수 힙바운드를 갖는 힙셋을 다항로그 시간 내에 PRAM 모델에서 구축할 수 있는가? 이는 이전 알고리즘의 nΩ(1) 시간을 초월하는가?
• RQ3 정점당 O(n^{1/k}) 메모리 사용과 O(k) 스트레치를 갖는 분산 라우팅 체계를 설계할 수 있는가? 동시에 거의 최적의 구축 시간을 유지할 수 있는가?
• RQ4 분산 모델에서 구축 시간을 아웃라이어 비율 Λ에 독립적으로 만들 수 있는가?
• RQ5 힙셋 크기를 O(n)으로 줄일 수 있으며, 同시에 하위다항식 힙바운드를 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 크기가 O(n^{1+1/κ})이고 힙바운드 β = O((log log n / ε)^{log log n + O(1)})인 (β, ε)-힙셋을 구성하여, 이전의 선형 크기 힙셋에 대해 O(n^{4+α})였던 힙바운드를 향상시켰다.
• 상수 힙바운드 힙셋에 대해 다항로그 시간 O((log n / ε)^{log κ + 1/ρ + O(1)})의 PRAM 구축 시간을 달성하여, [EN16a]의 nΩ(1) 시간에 비해 지수적 향상을 이뤘다.
• CONGEST 모델에서 정점당 레이블 크기 O(log n), 라우팅 테이블 크기 O(1), 정점당 메모리 사용 O(n^{1/k})를 갖는 분산 라우팅 체계를 개발하여 O(k) 스트레치를 달성했다.
• CONGEST 모델에서 구축 시간을 ˜O(√n + D) 라운드로 감소시켜 아웃라이어 비율 Λ에 영향을 받지 않았다.
• 단일 트리에서 라우팅 레이블과 테이블을 계산하는 데 ˜O(√n + D) 실행 시간을 달성하였으며, 정점당 내부 메모리 사용은 O(log n) 뿐이었다.
• 최대 s개의 트리가 정점당 존재하는 경우로 체계를 확장하여, 정점당 O(s · log n) 메모리 사용으로 ˜O(√s · n + D) 시간 내에 처리할 수 있었다.