[논문 리뷰] Linear spectral statistics of eigenvectors of anisotropic sample covariance matrices

Fan Yang|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 03.

Random Matrices and Applications참고 문헌 46인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비등방성 표본 공분산 행렬에서 고유벡터의 선형 스펙트럼 통계량에 대한 기능적 중심극한정리(functional central limit theorem)를 수립하며, 모집단 공분산 행렬 $\Sigma$ 와 결정론적 단위벡터 $\mathbf{v}$ 에 의존하는 명시적인 공분산 함수를 도출한다. 이는 전역적 및 국소적 척도에서 정규과정으로의 수렴을 증명하며, 이 맥락에서 $\Sigma$ 와 $\mathbf{v}$ 에 대한 의존성에 대한 최초의 명시적 기술을 제공한다.

ABSTRACT

Consider sample covariance matrices of the form $Q:=Σ^{1/2} X X^ op Σ^{1/2}$, where $X=(x_{ij})$ is an $n imes N$ random matrix whose entries are independent random variables with mean zero and variance $N^{-1}$, and $Σ$ is a deterministic positive-definite covariance matrix. We study the limiting behavior of the eigenvectors of $Q$ through the so-called eigenvector empirical spectral distribution $F_{\mathbf v}$, which is an alternative form of empirical spectral distribution with weights given by $|\mathbf v^ op ξ_k|^2$, where $\mathbf v$ is a deterministic unit vector and $ξ_k$ are the eigenvectors of $Q$. We prove a functional central limit theorem for the linear spectral statistics of $F_{\mathbf v}$, indexed by functions with Hölder continuous derivatives. We show that the linear spectral statistics converge to some Gaussian processes both on global scales of order 1 and on local scales that are much smaller than 1 but much larger than the typical eigenvalue spacing $N^{-1}$. Moreover, we give explicit expressions for the covariance functions of the Gaussian processes, where the exact dependence on $Σ$ and $\mathbf v$ is identified for the first time in the literature.

연구 동기 및 목표

• 고유값 수치가 $n \sim N$ 인 고차원 설정에서 비등방성 표본 공분산 행렬 $Q = \Sigma^{1/2}XX^\top\Sigma^{1/2}$ 의 고유벡터의 점근적 행동을 연구하기 위해.
• 고정된 단위벡터 $\mathbf{v}$ 에 대해 $|\langle \xi_k, \mathbf{v} \rangle|^2$ 로 고유값을 가중치로 부여하는 고유벡터 경험스펙트럼분포(VESD) $F_{\mathbf{v}}$ 를 분석하기 위해.
• 일반적인 모멘트 조건 하에서 $F_{\mathbf{v}}$ 의 선형 스펙트럼 통계량에 대한 기능적 중심극한정리(CL T)를 수립하기 위해.
• 제한된 정규과정의 공분산 함수에 대한 명시적 표현을 도출하여, 이들의 $\Sigma$ 와 $\mathbf{v}$ 에 대한 의존성을 이 분야에서 처음으로 규명하기 위해.

제안 방법

• 고유벡터 경험스펙트럼분포(VESD) $F_{\mathbf{v}}(x) = \sum_{k=1}^n |\langle \xi_k, \mathbf{v} \rangle|^2 \mathbf{1}_{\{\lambda_k \leq x\}}$ 를 정의하며, 여기서 $\xi_k$ 는 $Q$ 의 고유벡터이고 $\lambda_k$ 는 고유값이다.
• $\Sigma^{1/2}X$ 의 특이값 분해를 사용하여 고유벡터 $\xi_k$ 와 고유값 $\lambda_k$ 를 특이벡터와 특이값으로 표현한다.
• 선형 통계량의 변동성을 제어하기 위해 마틴게일 차분 분해와 스텔리츠 변환에 대한 국소법칙을 적용한다.
• 약한 모멘트 가정 하에서 모멘트 매칭과 모멘트 경계를 사용하여 경험분포와 제한분포 사이의 비교정리를 수립한다.
• 위크의 정리와 모멘트 수렴을 통해 위크의 정리를 사용하여 제한 공분산 함수를 도출하며, 제한 과정이 중심 정규과정임을 보인다.
• 일반적인 테스트 함수에 대해 CLT 를 확장하기 위해 헬러-시올스트란드 공식(Helffer-Sjöstrand formula)을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차원 비등방성 표본 공분산 행렬에서 고유벡터 경험스펙트럼분포 $F_{\mathbf{v}}$ 의 선형 스펙트럼 통계량은 점근적으로 어떻게 행동하는가?
• RQ2 부드러운 테스트 함수 $f$ 에 대해 $\sum_{k=1}^n f(\lambda_k) |\langle \xi_k, \mathbf{v} \rangle|^2$ 의 제한분포는 무엇인가?
• RQ3 제한 정규과정의 공분산 구조는 모집단 공분산 행렬 $\Sigma$ 와 테스트 벡터 $\mathbf{v}$ 에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 약한 모멘트 가정 조건 하에서도 전역적 및 국소적 척도에서 고유값 통계량에 대한 기능적 CLT 를 수립할 수 있는가?
• RQ5 선형 통계량 $F_{\mathbf{v}}$ 의 제한 공분산 함수의 정확한 형태는 무엇인가?

주요 결과

• 고유벡터 경험스펙트럼분포 $F_{\mathbf{v}}$ 의 선형 스펙트럼 통계량에 대한 기능적 중심극한정리가 수립되었으며, 전역적 및 국소적 척도에서 중심 정규과정으로의 수렴을 보였다.
• 제한 정규과정은 $\Sigma$ 와 $\mathbf{v}$ 에 의존하는 명시적인 공분산 함수를 지닌다. 이는 문헌에서 이러한 의존성에 대한 최초의 명시적 규명이다.
• 약한 모멘트 조건: $\mathbb{E}|x_{ij}|^2 = N^{-1}$ 과 $\mathbb{E}x_{ij} = 0$ 을 만족하며, 고차 모멘트는 초지수적 감쇠로 제어된다.
• 귀무가설 $\Sigma = I$ 의 경우, VESD 의 수렴 속도는 거의 확실히 $O(N^{-1/4 + \epsilon})$ 이며, 이는 이전의 경계를 향상시킨다.
• 홀더 연속성 도함수를 가진 테스트 함수에 대해 제한 공분산 함수가 명시적으로 도출되었으며, 이는 $\Sigma$ 의 스펙트럼 성질과 방향 $\mathbf{v}$ 에 대한 의존성을 보여준다.
• 증명은 경험분포와 제한분포 사이의 비교 방법에 기반하며, 모멘트 조건 (2.21) 하에서 오차 경계가 $O_{\prec}(N^{-\varepsilon})$ 인 경우, 어떤 $\varepsilon > 0$ 에 대해 성립한다.