[논문 리뷰] Linear Turan numbers of r-uniform linear cycles and related Ramsey numbers

Clayton Collier-Cartaino, Nathan Graber외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 20.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 24인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 $r$-균일 선형 사이클의 선형 툴란 수에 대한 날카운 상계를 확립하여, $\ell = 2m$ 및 $\ell = 2m+1$일 때 $\mathrm{ex}_L(n, C^r_\ell) = O(n^{1+1/m})$임을 보이며, 코스토크라, 무바이, 버스트라에 의해 제기된 질문을 해결한다. 또한 $r$-균일 사이클-완전 램지 수에 대한 새로운 상계를 도출하여, $R(C^r_{2m}, K^r_t) \leq a_{m,r}(t/\ln t)^{m/(m-1)}$ 및 $R(C^r_{2m+1}, K^r_t) \leq b_{m,r}t^{m/(m-1)}$를 보이며, 고전적 결과를 초하이퍼그래프로 확장한다.

ABSTRACT

An $r$-uniform hypergraph is called an $r$-graph. A hypergraph is linear if every two edges intersect in at most one vertex. Given a linear $r$-graph $H$ and a positive integer $n$, the linear Turán number $ex_L(n,H)$ is the maximum number of edges in a linear $r$-graph $G$ that does not contain $H$ as a subgraph. For each $\ell\geq 3$, let $C^r_\ell$ denote the $r$-uniform linear cycle of length $\ell$, which is an $r$-graph with edges $e_1,\ldots, e_\ell$ such that $\forall i\in [\ell-1]$, $|e_i\cap e_{i+1}|=1$, $|e_\ell\cap e_1|=1$ and $e_i\cap e_j=\emptyset$ for all other pairs $\{i,j\}, i eq j$. For all $r\geq 3$ and $\ell\geq 3$, we show that there exist positive constants $c_{m,r}$ and $c'_{m,r}$, depending only $m$ and $r$, such that $ex_L(n,C^r_{2m})\leq c_{m,r} n^{1+\frac{1}{m}}$ and $ex_L(n,C^r_{2m+1})\leq c'_{m,r} n^{1+\frac{1}{m}}$. This answers a question of Kostochka, Mubayi, and Verstraëte. For even cycles, our result extends the result of Bondy and Simonovits on the Turán numbers of even cycles to linear hypergraphs. Using our results on linear Turán numbers we also obtain bounds on the cycle-complete hypergraph Ramsey numbers. We show that there are positive constants $a_{m,r}$ and $b_{m,r}$, depending only on $m$ and $r$, such that $R(C^r_{2m}, K^r_t)\leq a_{m,r} (\frac{t}{\ln t})^\frac{m}{m-1}$ and $R(C^r_{2m+1}, K^r_t)\leq b_{m,r} t^\frac{m}{m-1}$.

연구 동기 및 목표

• $r$-균일 선형 사이클의 길이가 $\ell$일 때 선형 툴란 수 $\mathrm{ex}_L(n, C^r_\ell)$의 점근적 성장률을 규명하는 것.
• 코스토크라, 무바이, 버스트라에 의해 제기된 $\mathrm{ex}_L(n, C^r_{2m})$ 및 $\mathrm{ex}_L(n, C^r_{2m+1})$의 주요 크기 순서에 대한 질문을 해결하는 것.
• 짝수 사이클 툴란 수에 대한 본디-시몬وفي츠 상계를 선형 $r$-균일 초하이퍼그래프의 맥락으로 확장하는 것.
• 기존 그래프 결과를 일반화하여 $r$-균일 사이클-완전 램지 수 $R(C^r_\ell, K^r_t)$에 대한 새로운 상계를 도출하는 것.

제안 방법

• 정점의 차수 기반으로 수준 집합 $S_k$로 초하이퍼그래프를 층화된 분해하여 희박한 하위구조를 고립시켜 간선 밀도를 제어하는 방법.
• 반복적으로 큰 독립 집합 $S'$를 수준 집합에서 선택하고, 이들의 이웃을 제거함으로써 선형성을 유지하는 근사적 독립 집합 알고리즘을 적용하는 방법.
• 차수 제약 조건과 $r$-균일 선형성 조건을 이용해 선택된 독립 집합의 이웃 크기를 제한하여, 각 독립 집합당 제거되는 총 정점 수가 $O(n^{1/m})$임을 보장하는 방법.
• 반복적 독립 집합 구성과 무작위 샘플링 추론을 결합하여 독립 수의 하한을 도출하고, 이를 통해 램지 수의 상한을 이끌어내는 방법.
• 기존의 스테이너 시스템과 일반화된 사이돈 집합에 대한 극적 결과를 활용하여 $\mathrm{ex}_L(n, C^r_\ell)$에 대한 구조적 하한을 확립하는 방법.
• 이중 세기와 확률적 삭제 추론을 적용하여, 선형 $\ell$-사이클을 포함하지 않지만 간선 수가 많은 $r$-그래프의 존재를 보이며 점근적 상한을 뒷받침하는 방법.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $r$-균일 선형 사이클의 짝수 길이 $2m$에 대해 선형 툴란 수 $\mathrm{ex}_L(n, C^r_{2m})$의 점근적 성장률은 무엇인가요?
• RQ2 본디-시몬وفي츠 상계는 짝수 사이클 툴란 수에 대해 $r$-균일 선형 초하이퍼그래프로 확장될 수 있는가요?
• RQ3 $r$-균일 사이클-완전 램지 수 $R(C^r_\ell, K^r_t)$에 대한 가장 날카운 상계는 무엇인가요?
• RQ4 모든 $r \geq 3$ 및 $m \geq 2$에 대해 $\mathrm{ex}_L(n, C^r_{2m}) \leq c_{r,m} n^{1+1/m}$를 만족하는 상수 $c_{r,m}$가 존재하는가요?
• RQ5 일반화된 사이돈 집합과 같은 구조적 방법을 사용하여 $\mathrm{ex}_L(n, C^r_\ell)$의 하한을 향상시킬 수 있는가요?

주요 결과

• 모든 $r \geq 3$ 및 $\ell \geq 3$에 대해, 상수 $c_{m,r}$가 존재하여 $\mathrm{ex}_L(n, C^r_{2m}) \leq c_{m,r} n^{1+1/m}$임을 보였다. 이 상수 $c_{m,r}$는 오직 $m$과 $r$에만 의존한다.
• 유사하게 $\mathrm{ex}_L(n, C^r_{2m+1}) \leq c'_{m,r} n^{1+1/m}$임을 보였으며, 이는 홀수 사이클에 대해서도 동일한 점근적 성장률을 갖는다는 것을 입증한다.
• $\mathrm{ex}_L(n, C^r_{2m}) = O(n^{1+1/m})$라는 상한은 본디-시몬وفي츠 결과를 그래프에서 $r$-균일 선형 초하이퍼그래프로 확장한다.
• 사이클-완전 램지 수는 상수 $a_{m,r}$가 존재하여 $R(C^r_{2m}, K^r_t) \leq a_{m,r} (t/\ln t)^{m/(m-1)}$임을 보였다.
• 홀수 사이클의 경우, 상수 $b_{m,r}$가 존재하여 $R(C^r_{2m+1}, K^r_t) \leq b_{m,r} t^{m/(m-1)}$임을 보였으며, 이는 기존 그래프 사례의 구조와 일치한다.
• 밀도 높은 선형 $r$-그래프의 무작위 부분그래프를 사용하여, $\mathrm{ex}_L(n, C^r_\ell) > c''_{r,\ell} n^{1+1/(\ell-1)}$라는 구조적 하한을 확립하였다.