[논문 리뷰] Linearization of holomorphic germs with resonant linear part

Ricardo Pérez-Marco|ArXiv.org|2000. 09. 04.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 7인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 복소 공간에서 공진선형 부분을 가진 힐베르트 미분형의 힐베르트 미분형에 대한 해석적 선형화 문제를 조사한다. 이는 이중성 원리가 성립함을 보이며, 모든 형식적 선형화가 수렴하는지 여부 또는 모든 형식적 선형화가 발산하는지 여부로 나뉜다. 후자의 경우는 브루노 조건이 실패할 때 정확히 발생한다. 주요 기여는 최대 공진의 경우에서 브루노 조건의 최적성에 대한 증명으로, 소수 분모 문제에서 오랫동안 남아있던 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We study the linearization problem of germs of holomorphic diffeomorphisms with resonant linear part. The formal linearization requires in general an infinite number of algebraic relations to be satisfied by the coefficients of the power series defining the holomorphic germ. For a fixed germ, the linearizing mappings are not unique, but the existence of a finite jet with a formal divergent linearization but no convergent one forces all the other linearizing mappings to be diverging. We consider also polynomial families formally conjugated to a fixed resonant linear part. Then all the elements of the family are holomorphically linearizable, or we are in the precedent diverging situation for all but an exceptional set of parameter values of zero $Γ$-capacity. In the case of maximal non-trivial resonance we prove the optimality of Bruno condition.

연구 동기 및 목표

• 브루노 조건이 위반될 경우에도 해석적 선형화가 가능한지 여부를 규명하는 것.
• 공진의 경우에서 형식적 선형화와 해석적 선형화 간의 관계를 명확히 하는 것.
• 이중성 원리 수립: 모든 형식적 선형화가 수렴하거나, 모든 형식적 선형화가 발산하는 경우.
• 최대 비자명 공진의 경우에서 브루노 조건의 최적성 증명.
• 다항식 가중치의 가속도를 가진 이러한 근처의 가속도를 분석하여, 해석적 선형화가 전역적 또는 예외적인 경우로 나타나며, Γ-용적도가 0인 집합에서 발생함을 보이는 것.

제안 방법

• 기원점에서의 형식적 미분형의 군 내에서 형식적 선형화의 구조를 분석하기 위해 형식적 급수와 임계 프로젝션을 사용한다.
• 대수기하학을 적용하여 형식적 선형화의 m-임계의 집합이 아핀 대수다양체임을 보인다.
• 임계 공간 간 선형 동형사상의 귀납적 극한을 통해 일반 선형화 사상의 구성.
• 근처의 다항식 가중치를 분석하고, 형식적 선형화가 매개변수에 대해 다항식적으로 변하며, 선형화 매개변수 공간에 대해 선형적임을 증명한다.
• 소수 분모 이론과 브루노 조건을 활용하여 선형화 급수의 수렴 여부를 결정한다.
• 비선형화 가능한 복소함수를 한 변수에서 구성함으로써 문제를 일변도 동역학으로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해석적 선형화가 가능한지 여부는 어떤 조건에서 성립하는가? (공진선형 부분을 가진 힐베르트 미분형의 경우)
• RQ2 브루노 조건이 공진 근처의 형식적 선형화 수렴성에 미치는 정확한 역할은 무엇인가?
• RQ3 최대 비자명 공진의 경우에서 선형화에 대해 브루노 조건이 최적인가?
• RQ4 형식적 선형화가 발산하는 경우, 다른 모든 형식적 선형화도 발산하는가?
• RQ5 다항식 가중치의 가속도 가중치에서 해석적 선형화의 성질은 매개변수 공간 전반에서 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 어느 근처의 형식적 선형화가 발산한다면, 그 근처의 다른 모든 형식적 선형화도 발산한다.
• 어느 근처의 수렴하는 선형화 집합은 그 선형 부분의 해석적 중심화자와 일대일 대응된다.
• 주어진 근처의 모든 수렴하는 선형화에 대해 동일한 수렴 반경 R₀ > 0 이 존재한다.
• 최대 비자명 공진의 경우, 브루노 조건은 최적이다: 조건이 실패하면 비선형화 가능한 근처가 존재한다.
• 고정된 공진선형 부분에 대해 형식적으로 동치인 다항식 가중치의 근처 가중치에서, 모든 성분이 해석적으로 선형화 가능하거나, 비선형화 가능한 매개변수의 집합은 Γ-용적도가 0이다.
• 비브루노 각속도를 가진 비선형화 가능한 일변수 복소함수가 존재하면, 동일한 선형 부분을 가진 고차원 비선형화 가능한 근처가 존재한다.