[논문 리뷰] Linearized polynomials over finite fields revisited

Baofeng Wu, Zhuojun Liu|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 23.

Coding theory and cryptography참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위의 선형화 다항식 대수에 대한 두 가지 새로운 대수적 특성화를 제시한다: 하나는 조합 대수 $\mathbb{F}_{q^{n}}^{\vee} \otimes_{\mathbb{F}_{q}} \mathbb{F}_{q^{n}}$로, 다른 하나는 딕슨 행렬 대수 $\mathscr{D}_{n}(\mathbb{F}_{q^{n}})$로 나타낸다. 이러한 동형사상은 선형화 다항식의 연구를 단순화하며, 특히 행렬 이론적 방법을 통해 궤적 표현과 랭크, 순열 성질을 분석할 때 유용하다.

ABSTRACT

We give new characterizations of the algebra $\mathscr{L}_n(\mathbb{F}_{q^n})$ formed by all linearized polynomials over the finite field $\mathbb{F}_{q^n}$ after briefly surveying some known ones. One isomorphism we construct is between $\mathscr{L}_n(\mathbb{F}_{q^n})$ and the composition algebra $\mathbb{F}_{q^n}^\vee\otimes_{\mathbb{F}_{q}}\mathbb{F}_{q^n}$. The other isomorphism we construct is between $\mathscr{L}_n(\mathbb{F}_{q^n})$ and the so-called Dickson matrix algebra $\mathscr{D}_n(\mathbb{F}_{q^n})$. We also further study the relations between a linearized polynomial and its associated Dickson matrix, generalizing a well-known criterion of Dickson on linearized permutation polynomials. Adjugate polynomial of a linearized polynomial is then introduced, and connections between them are discussed. Both of the new characterizations can bring us more simple approaches to establish a special form of representations of linearized polynomials proposed recently by several authors. Structure of the subalgebra $\mathscr{L}_n(\mathbb{F}_{q^m})$ which are formed by all linearized polynomials over a subfield $\mathbb{F}_{q^m}$ of $\mathbb{F}_{q^n}$ where $m|n$ are also described.

연구 동기 및 목표

• 유한체 $\mathbb{F}_{q^{n}}$ 위의 선형화 다항식 대수 $\mathscr{L}_{n}(\mathbb{F}_{q^{n}})$에 대한 새로운 대수적 특성화를 제공하는 것.
• 관련된 딕슨 행렬의 랭크를 이용해 딕슨의 선형화 순열 다항식 기준을 일반화하는 것.
• 선형화 다항식의 딕슨 행렬을 통해 그 수반 다항식을 정의하고 연구하는 것.
• 블록 순환 행렬과 궤적 표현을 사용하여 $m|n$ 인 경우의 부분대수 $\mathscr{L}_{n}(\mathbb{F}_{q^{m}})$의 구조를 기술하는 것.

제안 방법

• $\mathscr{L}_{n}(\mathbb{F}_{q^{n}})$와 조합 대수 $\mathbb{F}_{q^{n}}^{\vee} \otimes_{\mathbb{F}_{q}} \mathbb{F}_{q^{n}}$ 사이의 동형사상을 쌍대 공간과 텐서 tích의 구조를 이용해 구성하는 것.
• $\mathscr{L}_{n}(\mathbb{F}_{q^{n}})$와 다항식의 계수로 정의된 딕슨 행렬 대수 $\mathscr{D}_{n}(\mathbb{F}_{q^{n}})$ 사이의 두 번째 동형사상을 확립하는 것.
• 선형화 다항식의 딕슨 행렬의 수반 행렬에 대응하는 다항식을 그 다항식의 수반 다항식으로 정의하는 것.
• 궤적 함수와 정규 기저 표현을 사용하여 선형화 다항식의 특수한 궤적 표현을 유도하는 것.
• $n=mt$ 인 경우, 부분대수 $\mathscr{L}_{n}(\mathbb{F}_{q^{m}})$가 블록 순환 행렬 대수 $\mathscr{B}\mathscr{C}_{t,m}(\mathbb{F}_{q})$와 동형임을 보이고, $\mathscr{M}_{m}(\mathbb{F}_{q}[x]/(x^{t}-1))$과도 동형임을 보이는 것.
• 행렬 이론적 도구를 활용하여 딕슨의 기준을 일반화하고, 선형화 다항식의 랭크가 그에 관련된 딕슨 행렬의 랭크와 같음을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형화 다항식 대수 $\mathscr{L}_{n}(\mathbb{F}_{q^{n}})$는 기존의 동형사상 외에 어떻게 특성화될 수 있는가?
• RQ2 선형화 다항식의 랭크와 그에 관련된 딕슨 행렬의 랭크 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 딕슨 행렬의 수반 행렬을 사용하여 의미 있는 수반 다항식을 정의할 수 있으며, 그 다항식이 상속하는 성질은 무엇인가?
• RQ4 조건 $m|n$ 인 경우의 부분대수 $\mathscr{L}_{n}(\mathbb{F}_{q^{m}})$의 구조는 무엇이며, 블록 순환 행렬을 통해 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ5 새로운 동형사상은 선형화 다항식의 궤적 표현 유도를 어떻게 단순화하는가?

주요 결과

• $\mathscr{L}_{n}(\mathbb{F}_{q^{n}})$는 조합 대수 $\mathbb{F}_{q^{n}}^{\vee} \otimes_{\mathbb{F}_{q}} \mathbb{F}_{q^{n}}$와 동형이므로, 선형화 다항식을 연구하는 데 새로운 프레임워크를 제공한다.
• $\mathscr{L}_{n}(\mathbb{F}_{q^{n}})$는 딕슨 행렬 대수 $\mathscr{D}_{n}(\mathbb{F}_{q^{n}})$와도 동형이므로, 다항식 성질에 대한 행렬 이론적 분석이 가능해진다.
• 선형화 다항식의 랭크는 그에 관련된 딕슨 행렬의 랭크와 같으며, 이는 순열 다항식에 대한 딕슨의 기준을 일반화한다.
• 딕슨 행렬의 수반 행렬은 다시 딕슨 행렬이므로, 그 성질을 유지하는 수반 다항식을 정의할 수 있다.
• $n=mt$ 인 경우, 조건 $m|n$ 인 부분대수 $\mathscr{L}_{n}(\mathbb{F}_{q^{m}})$는 블록 순환 행렬 대수 $\mathscr{B}\mathscr{C}_{t,m}(\mathbb{F}_{q})$와 동형이며, $\mathscr{M}_{m}(\mathbb{F}_{q}[x]/(x^{t}-1))$과도 동형이므로 표현이 단순화된다.
• 특히 $m=1$ 인 경우에 대해, 새로운 동형사상들을 활용하여 선형화 다항식의 궤적 표현을 더 체계적이고 단순화된 방식으로 도출할 수 있었다.