[논문 리뷰] Linearized stability theorem for invariant and quasi-invariant parabolic differential equations in Banach manifolds with applications to free boundary problems

Shangbin Cui|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 30.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 35인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 리 군 작용에 관하여 불변 또는 준불변인 바나흐 다양체 위의 초기치 문제에 대해 선형화된 안정성 정리를 수립한다. 이는 자유 경계 문제에서 흔히 나타나는 경우이며, 비고립 정상해에 대한 안정성 분석을 가능하게 한다. 주요 결과로는 표면 장력이 임계 임계값을 초과할 경우, 종양 성장 모델에서 반지름 방향 정상해의 점근적 안정성이 입증되며, 이는 10여 년 이상의 장기적인 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

If a differential equation in a Banach manifold is invariant or quasi-invariant under the action of one or more Lie groups, then its stationary points cannot be isolated, so that classical linearized stability theorem does not apply to it. The first main purpose of this paper is to establish a linearized stability theorem for parabolic differential equations in Banach manifolds which are either invariant or quasi-invariant under actions of a number of Lie groups. The second purpose of this paper is to apply this theorem to analyze stability of stationary solutions of some free boundary problems. In order to apply the abstract result to concrete free boundary problems, Banach manifold made up of certain kind of domains such as simple domains in ${\mathbf{R}}^n$ is a fundamental tool which seems to have not been well-studied in the literature yet. Hence in this paper we also make some basic investigation to a such manifold. In Section 5 we use Nash-Moser implicit function theorem to prove an interesting result for an obstacle problem which says that if the domain $Ω$ of this obstacle problem is a small perturbation of a sphere then its interface $Γ$ is smooth and depends on $Ω$ smoothly. By using these results, in the last section we prove asymptotic stability of radial stationary solution of a free boundary problem modeling the growth of necrotic tumors, which has been kept open for over ten years.

연구 동기 및 목표

• 클래식한 안정성 이론이 비고립 정상점으로 인해 실패하는 상황에서, 리 군 작용에 대해 불변 또는 준불변인 바나흐 다양체 위의 초기치 문제에 대해 선형화된 안정성 정리를 개발하는 것.
• 추상적 안정성 정리를 자유 경계 문제에 적용하여, 대칭성으로 인해 연속적인 정상해의 가닥이 존재하는 종양 성장 및 액체 방울 역학 모델을 분석하는 것.
• 특히 구를 포함한 R^n 내 단순 도메인의 다양체를 분석의 기초로 삼아, 바나흐 공간 설정에서 자유 경계 문제를 연구하는 것.
• 특정 물리적 매개변수 하에서 괴사성 종양 성장 모델의 반지름 정상해에 대한 점근적 안정성 문제를 해결하는 것.

제안 방법

• 리 군 작용 하에서의 불변성 및 준불변성을 바나흐 다양체에서 정형화하여, 정상해의 연속적인 가닥 존재를 보장하는 것.
• 정상점에서 프레셰 도함수의 스펙트럼 바ounds를 분석함으로써 수정된 선형화된 안정성 기준을 수립하며, 대칭성으로 인한 커널을 고려하는 것.
• 나시-모저 은둔함수 정리를 사용하여 도메인의 변형에 대한 자유 경계 경계면의 매끄러운 의존성을 증명하며, 특히 구의 작은 변형에 대해 적용하는 것.
• 추상적 안정성 정리를 괴사성 종양 성장 모델을 묘사하는 자유 경계 문제에 적용하여, 도메인 다양체 내 반지름 정상해로 문제를 축소하는 것.
• 구 위에서 스펙트럼 이론을 사용하여 선형화된 연산자의 스펙트럼 바ounds를 분석하며, 타원형 미분형 연산자와 프레드홀름 이론을 활용하여 안정성을 결정하는 것.
• 선형화된 연산자의 커널과 범위를 이용하여 중심다양체와 안정다양체의 분해를 구성함으로써, 적절한 조건 하에서 반지름 해로의 점근적 수렴을 이끌어내는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리 군 작용에 대해 불변 또는 준불변인 바나흐 다양체 위의 초기치 문제에 대해, 비고립 정상점이 존재하는 상황에서 선형화된 안정성 정리를 확장할 수 있는가?
• RQ2 괴사성 종양 성장 모델을 묘사하는 자유 경계 문제의 반지름 정상해는 특정 물리적 매개변수 조건 하에서도 점근적으로 안정적인가?
• RQ3 특히 도메인이 구에 가까운 경우, 자유 경계 경계면은 도메인의 작은 변형에 대해 어떻게 행동하는가?
• RQ4 대칭성 자유 경계 문제에서 정상해의 안정성을 결정하는 표면 장력 계수의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 괴사성 종양 성장 모델을 묘사하는 자유 경계 문제의 반지름 정상해는 표면 장력 계수 γ가 임계값 γ*를 초과할 경우 점근적으로 안정하다.
• 표면 장력 계수 γ > γ*일 경우, 선형화된 연산자의 스펙트럼 바ounds는 0을 제외한 곳에서 음수이며, 0에서의 도함수의 커널은 3차원으로, 이는 구의 강체 이동에 해당한다.
• 선형화된 연산자의 범위는 닫혀 있으며, 바나흐 공간은 커널과 범위의 직합으로 분해되며, 이는 중심다양체 축소의 적용 가능성을 보장한다.
• 초기 도메인이 구에 가까운 경우, 해는 반지름 해의 이동된 형태로 수렴하며, 이 수렴은 도메인 다양체 위에서 C^1 위상에서 발생한다.
• 나시-모저 정리에 의해, 도메인이 구의 작은 변형일 경우 장애물 문제의 경계면은 매끄럽고 도메인에 대해 매끄럽게 의존한다.
• 표면 장력 계수 γ < γ*일 경우 반지름 해는 불안정하며, 이는 스펙트럼 바ounds가 양수가 되어 반지름 방향으로의 변동이 지수적으로 증가하기 때문이다.