[논문 리뷰] Linearly Reductive Quotient Singularities

Christian Liedtke, Gebhard Martin외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 01.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 33인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 양의 및 혼합 특성수에서 선형적으로 재조합 가능한 몫 특이점(lrq 특이점)을 조사하여 그 분류, 강성, 그리고 변형 성질을 확립한다. F-정규(또는 F-정규이자 Gorenstein) 표면 특이점은 각각 GL₂(또는 SL₂)의 유한한 선형적으로 재조합 가능한 부분군 스킴으로부터 유래된 것들임을 증명하며, 차원 ≥4인 lrq 특이점은 무한소적으로 강성 있음을 보이며, Schlessinger의 정리를 일반화한다. 또한 Gorenstein 케이스에서 Riemannschneider의 추측을 확인하고 특성 0으로의 캐논ical 리프팅을 수립한다.

ABSTRACT

We study isolated quotient singularities by finite and linearly reductive group schemes (lrq singularities for short) and show that they satisfy many, but not all, of the known properties of finite quotient singularities in characteristic zero: (1) From the lrq singularity we can recover the group scheme and the quotient presentation. (2) We establish canonical lifts to characteristic zero, which leads to a bijection between lrq singularities and certain characteristic zero counterparts. (3) We classify subgroup schemes of ${\mathbf{GL}}_d$ and ${\mathbf{SL}}_d$ that correspond to lrq singularities. For $d=2$, this generalises results of Klein, Brieskorn, and Hashimoto. Also, our classification is closely related to the spherical space form problem. (4) F-regular (resp. F-regular and Gorenstein) surface singularities are precisely the lrq singularities by finite and linearly reductive subgroup schemes of ${\mathbf{GL}}_2$ (resp. ${\mathbf{SL}}_2$). This generalises results of Klein and Du Val. (5) Lrq singularities in dimension $\geq 4$ are infinitesimally rigid. We classify lrq singularities in dimension $3$ that are not infinitesimally rigid and compute their deformation spaces. This generalises Schlessinger's rigidity theorem to positive and mixed characteristic. Finally, we study Riemenschneider's conjecture in this context, that is, whether lrq singularities deform to lrq singularities.

연구 동기 및 목표

• GL_d 및 SL_d의 유한한 선형적으로 재조합 가능한 부분군 스킴 중에서 고립된 몫 특이점을 유도하는 것을 분류하기 위해.
• lrq 특이점의 특성 0으로의 캐논ical 리프팅을 확립하여 그것들과 그 특성 0 대응체를 연결하기 위해.
• 차원 ≥4인 lrq 특이점에 대해 무한소적 강성을 증명하여 Schlessinger의 강성 정리를 양의 및 혼합 특성수로 일반화하기 위해.
• lrq 특이점의 변형에 대해 Riemannschneider의 추측을 검증하고, 특히 Gorenstein 케이스에서 성립 조건을 밝히기 위해.
• F-정규 및 F-정규이자 Gorenstein인 표면 특이점이 각각 GL₂ 및 SL₂의 유한한 선형적으로 재조합 가능한 부분군 스킴으로부터 유래된 것임을 특성하기 위해.

제안 방법

• 유한한 선형적으로 재조합 가능한 군 스킴의 특성 0로의 캐논ical 리프팅을 사용하여 lrq 특이점과 그 특성 0 대응체 사이의 전단사 사상 수립.
• 매우 작은 표현 이론과 연결-에테일 수열을 적용하여 분류 문제를 순환 아벨 부분군을 가진 추상 유한군으로 환원.
• 복소수와 양의 특성수 표현 사이의 전이 사상( specialization map )을 활용하여 복소수와 양의 특성수 군 작용을 연결.
• Hirzebruch–Jung 연속분수와 연속분수(continuants)를 사용하여 가닥 내의 서로 다른 섬유에서의 특이점 유형을 비교.
• 최소 해소에서의 피카르 군과 격자 포함을 활용하여 이중 해소 그래프와 분열에서의 군 스킴 차수를 비교.
• F-서명의 하향 연속성과 klt 및 캐논ical 특이점 이론을 적용하여 변형 행동 분석.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GL_d 및 SL_d의 유한한 선형적으로 재조합 가능한 부분군 스킴 중에서 어떤 것이 고립된 몫 특이점을 유도하는가?
• RQ2 lrq 특이점은 특성 0으로 캐논ical 리프팅이 가능한가? 그리고 이로 인해 특성 0 대응체와의 전단사 사상이 수립되는가?
• RQ3 차원 ≥4인 lrq 특이점은 무한소적으로 강성 있는가? 이는 Schlessinger의 정리를 양의 및 혼합 특성수로 일반화하는가?
• RQ4 lrq 특이점은 다른 lrq 특이점으로 변형 가능한가? Riemannschneider의 추측이 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 F-정규(또는 F-정규이자 Gorenstein) 표면 특이점은 각각 GL₂(또는 SL₂)의 유한한 선형적으로 재조합 가능한 부분군 스킴으로부터 유도된 것인가?

주요 결과

• F-정규 표면 특이점은 정확히 GL₂의 유한한 선형적으로 재조합 가능한 부분군 스킴으로부터 유도된 것들이다.
• F-정규이자 Gorenstein인 표면 특이점은 정확히 SL₂의 유한한 선형적으로 재조합 가능한 부분군 스킴으로부터 유도된 것들이다.
• 차원 ≥4인 lrq 특이점은 무한소적으로 강성 있으며, 이는 Schlessinger의 강성 정리를 양의 및 혼합 특성수로 일반화한 것이다.
• 비강성 있는 lrq 3차원 특이점의 변형 공간이 분류되었으며, 이러한 특이점은 희귀하며 명시적으로 기술되어 있다.
• Riemannschneider의 추측은 Gorenstein 케이스에서 성립한다: 중심 섬유가 Gorenstein이면 lrq 특이점의 변형은 여전히 lrq 특이점으로 유지된다.
• d가 k의 특성의 거듭제곱일 때, GL_d,k의 모든 유한한 매우 작은 부분군 스킴은 순환적이다. 이는 가능한 군 스킴에 대한 강력한 제약 조건을 제공한다.