[논문 리뷰] Liouville Quantum Gravity and Polyakov's formulation of $2d$ string theory in genus $g\geq 2$

Colin Guillarmou, Rémi Rhodes외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 28.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 46인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 고리수 $g \geq 2$인 표면에서 리우빌 양자장 이론(LQFT)의 분할함수를 가우시안 곱의 혼합성(Gaussian multiplicative chaos)을 사용하여 정의함으로써 중심적 차수 $c \geq 25$를 갖는 등각장론을 수립한다. 모듈리 공간을 통합하여 리우빌 양자 중력(LQG) 분할함수를 구성하고, $c > 25$일 경우 적분 가능성을 입증하며, 고리수 $g = 2$에서 $c = 25$일 경우 수렴성을 입증함으로써, 히퍼볼릭 표면에서 폴리아코프의 2차원 끈 이론에 수학적 기반을 제공한다.

ABSTRACT

We define the partition function of Liouville quantum field theory (LQFT) on surfaces of genus ${\bf g}\geq 2$ by using the theory of Gaussian multiplicative chaos. Such a construction produces a conformal field theory with central charge ${\bf c}\geq 25$, which depends on the conformal class of the background metric put on the surface. This construction is used to define the Liouville quantum gravity (LQG) partition function by coupling LQFT with a matter field theory and by integrating over the space of conformal structures, i.e moduli space. We analyze the behaviour of the LQFT partition function at the boundary of the compactification of moduli space and we show integrability of the LQG partition function over moduli space when ${\bf c}>25$. For ${\bf c}=25$ (the critical value of the theory), the analysis becomes particularly interesting as it gives a mathematical sense to Polyakov's partition function for (bosonic) $2d$ string theory on hyperbolic surfaces. In this case, we prove convergence of the integral over moduli space for genus ${\bf g}=2$

연구 동기 및 목표

• 고리수 $g \geq 2$인 리만 표면에서 가우시안 곱의 혼합성의 프레임워크를 사용하여 리우빌 양자장 이론(LQFT)의 분할함수를 정의하는 것.
• LQFT를 물리적 이론과 결합하고 리만 표면의 모듈리 공간을 통합하여 리우빌 양자 중력(LQG) 분할함수를 구성하는 것.
• 콤���팩티피케이션된 모듈리 공간의 경계에서 LQFT 분할함수의 행동을 분석하는 것.
• 중심적 차수 $c > 25$일 경우 모듈리 공간 상에서 LQG 분할함수의 적분 가능성을 확립하고, 고리수 $g = 2$에서 임계값 $c = 25$일 경우 수렴성을 증명하는 것.
• 고리수 $g = 2$에서 $c = 25$일 경우, 히퍼볼릭 표면에서 폴리아코프의 2차원 끈 이론의 분할함수에 엄밀한 수학적 해석을 제공하는 것.

제안 방법

• 고리수 $g \geq 2$인 표면에서 LQFT 분할함수를 가우시안 곱의 혼합성을 통해 구성하여 중심적 차수 $c \geq 25$를 갖는 등각장론을 도출한다.
• 구성은 배경 메트릭의 등각 동치류에 의존하여, 결과 이론의 등각 불변성을 보장한다.
• LQG 분할함수를 LQFT와 물리적 이론을 결합하고 고리수 $g \geq 2$인 리만 표면의 모듈리 공간을 통합하여 도출한다.
• 모듈리 공간의 콤팩티피케이션 기법을 사용하여 LQFT 분할함수의 경계 행동을 분석한다.
• 모듈리 공간의 경계 근처에서 LQFT 분할함수의 성장률에 대한 추정을 통해 $c > 25$일 경우 LQG 분할함수의 적분 가능성을 확립한다.
• $c = 25$일 경우, 특별히 고리수 $g = 2$에서 모듈리 공간 상의 적분 수렴성을 입증하기 위해 탈선 극한의 정밀한 분석을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 고리수 $g \geq 2$인 리만 표면에서 확률적 방법을 사용하여 리우빌 양자장 이론(LQFT)의 분할함수를 엄밀히 정의할 수 있는가?
• RQ2 콤팩티피케이션된 고리수 $g \geq 2$ 표면의 모듈리 공간의 경계에서 LQFT 분할함수의 행동은 어떠한가?
• RQ3 모듈리 공간 상에서 리우빌 양자 중력(LQG) 분할함수의 적분 가능성이 성립하는 중심적 차수 $c$의 값은 무엇인가?
• RQ4 고리수 $g = 2$에서 임계 중심적 차수 $c = 25$일 경우 LQG 분할함수의 적분은 수렴하는가?
• RQ5 이 구성에 의해 $c = 25$에서 폴리아코프의 2차원 끈 이론의 수식이 수학적으로 기반을 확보할 수 있는가?

주요 결과

• 고리수 $g \geq 2$인 표면에서 LQFT 분할함수를 가우시안 곱의 혼합성을 사용하여 엄밀히 정의하였으며, 중심적 차수 $c \geq 25$를 갖는 등각장론을 도출하였다.
• LQFT를 물리적 이론과 결합하고 고리수 $g \geq 2$인 리만 표면의 모듈리 공간을 통합하여 LQG 분할함수를 구성하였다.
• 콤파クト화된 모듈리 공간의 경계에서 LQFT 분할함수의 성장이 통제 가능하여, 이후 적분 가능성 분석이 가능해졌다.
• 중심적 차수 $c > 25$일 경우, 모듈리 공간 상에서 LQG 분할함수의 적분 가능성이 보장되어 이 영역에서 경로 적분의 수렴성을 확보하였다.
• 임계 경우 $c = 25$일 경우, 고리수 $g = 2$에서 모듈리 공간 상의 적분이 수렴함을 입증하여, 히퍼볼릭 표면에서 폴리아코프의 2차원 끈 이론의 수학적 실현을 제공하였다.
• 이 구성은 고리수 $g = 2$에서 $c = 25$일 경우 폴리아코프의 2차원 끈 이론 분할함수에 엄밀한 수학적 해석을 제공하였다.