[논문 리뷰] Liouville theorem of axially symmetric Navier-Stokes equations with growing velocity at infinity

Xinghong Pan, Zijin Li|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 30.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 18인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 3차원 나비에-스토크스 방정식의 고대적이고 축대칭적이며 난류가 없는 해에 대해, 하위선형 성장 조건 하에서 리우빌 유형 정리의 성립을 확립한다: 속도가 어떤 α < 1에 대해 |x|^α 보다 느리게 증가하면, 해는 공간적으로 일정해야 한다(즉, ur = 0, uz = c(t)). 증명은 vorticity 성분 Ω = wθ/r에 대한 가중치가 부여된 L^q 추정을 사용하여, 에너지 유형 부등식과 척도 분석을 통해 Ω가 식별적으로 0이 됨을 보이며, 이는 속도가 라플라스 방정식을 만족하고 따라서 시간에만 의존함을 의미한다. 이 결과는 이전 연구를 발전시켜 비영인 성장률까지 허용하면서도 해가 공간적으로 일정하다는 결론을 유지한다. 반면 선형 성장은 정리가 성립하지 않음을 보여주는 반례가 존재한다.

ABSTRACT

In the paper \cite{KNSS:1}, the authors make the following conjecture: {\it any bounded ancient mild solution of the 3D axially symmetric Navier-Stokes equations is constant.} And it is proved in the case that the solution is swirl free. Our purpose of this paper is to improve their result by allowing that the solution can grow with a power smaller than 1 with respect to the distance to the origin. Also, we will show that such a power is optimal to prove the Liouville type theorem since we can find counterexamples for the Navier-Stokes equations such that the Liouville theorem fails if the solution can grow linearly.

연구 동기 및 목표

• 유계성 조건을 초월하여 하위선형 성장 조건까지 확장된 고대적이고 축대칭적이며 난류가 없는 나비에-스토크스 해에 대한 리우빌 유형 정리의 확장을 목적으로 한다.
• 리우빌 정리가 여전히 성립하는 최대 성장률을 규명한다.
• 선형 성장(α = 1)이 정리가 실패하는 임계점임을 보이며, 명시적인 반례를 구성함으로써 이를 입증한다.
• vorticity 성분 wθ의 소멸이 하위선형 성장 조건 하에서 속도가 조화함수임을 의미하며, 따라서 공간적으로 일정함을 증명한다.

제안 방법

• 속도 성분을 포함하는 운반-확산 방정식을 만족하는 Ω = wθ / r의 방정식을 사용한다.
• 자기 유사성에 따라 R에 스케일링된 컷오프 함수 ηR를 사용하여 Ω에 대한 가중치가 부여된 L^q 에너지 추정을 적용하며, 하위선형 성장 가정(1.6)과 반경 방향 정칙성 조건(1.7)을 활용한다.
• 부분적 적분과 얀의 부등식을 적용하여 저차항을 제어하고 주 에너지 항에 흡수시킨다.
• 비에이-사바르 법칙을 통해 wθ ≡ 0이면 ∆u = 0임을 도출하며, 이는 u가 공간적으로 조화함수임을 의미한다.
• 하위선형 성장 조건을 적용하여 조화함수로서의 속도장이 공간에 독립적이어야 하므로 u = (0, c(t))임을 결론짓는다.
• 선형 성장(α = 1)을 갖는 명시적 해를 구성하여 하위선형 조건의 날카로움을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고대적이고 축대칭적이며 난류가 없는 나비에-스토크스 해에 대해 리우빌 정리가 여전히 성립하는 최대 성장률은 무엇인가?
• RQ2 유계 해에서 하위선형 성장 조건까지 확장된 리우빌 정리의 적용이 가능한가?
• RQ3 하위선형 성장 조건(α < 1)은 날카로운가, 아니면 더 완화시킬 수 있는가?
• RQ4 해가 선형적으로 증가할 경우—리우빌 정리는 여전히 성립하는가?

주요 결과

• 고대적이고 축대칭적이며 난류가 없는 나비에-스토크스 해에 대해, 속도가 어떤 α < 1에 대해 |x|^α 보다 느리게 증가하면 리우빌 정리가 성립한다.
• 하위선형 성장 조건 하에서 vorticity 성분 wθ는 식별적으로 0이 되며, 이는 해가 공간적으로 조화적임을 의미한다.
• 조화성과 하위선형 성장 조건의 조합으로 인해 속도장은 u = (0, c(t))의 형태여야 하며, 여기서 c(t)는 시간에 의존하는 함수이다.
• 성장률 α < 1은 날카로운 경계이다: α = 1일 경우, 비상수 해를 갖는 반례가 존재하며, 예를 들어 ur = C1r, uz = −2C1z + C2(t)와 같이 표현되며, 이는 정리가 실패함을 보여준다.
• 증명은 적절히 선택된 컷오프 함수와 척도 분석을 사용하여 Ω = wθ / r에 대한 L^q 추정을 기반으로 하며, R → ∞일 때 Ω의 L^q 노름이 0이 됨을 보인다.
• 이 결과는 이전 연구를 향상시켜 비영인 성장률을 허용하면서도 해가 공간적으로 일정하다는 결론을 유지한다.