[논문 리뷰] Liouville theorems and a Schwarz Lemma for holomorphic mappings between Kähler manifolds

Lei Ni|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 07.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 16인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 비선형적 일반화를 통해 비음성 이차형 군형 Kähler 다양체에 대한 해석적 분할 정리의 일반화를 수립하며, 비음성 이차형 군형을 가진 다양체로의 해석적 사상이 미분의 약한 성장 조건 하에서 완전히 지오데식임을 증명한다. 또한 영역과 목표 다양체의 해석적 섹션 곡률에만 기반한 새로운 샤우츠 추정치를 도입하여 $k$-초구형성과 음성 $k$-스칼라 곡률을 연결한다.

ABSTRACT

We derive some consequences of the Liouville theorem for plurisubharmonic functions of L.-F. Tam and the author. The first result provides a nonlinear version of the complex splitting theorem (which splits off a factor of $\mathbb{C}$ isometrically from the simply-connected Kähler manifold with nonnegative bisectional curvature and a linear growth holomorphic function) of L.-F. Tam and the author. The second set of results concerns the so-called $k$-hyperbolicity and its connection with the negativity of the $k$-scalar curvature (when $k=1$ they are the negativity of holomorphic sectional curvature and Kobayashi hyperbolicity) introduced recently by F. Zheng and the author. We lastly prove a new Schwarz Lemma type estimate in terms of {\it only the holomorphic sectional curvatures of both domain and target manifolds}.

연구 동기 및 목표

• 다양체의 비음성 이차형 군형 곡률 조건 하에서, 다항식형 함수에 대한 리우빌 유형 정리를 통해 해석적 분할 정리를 비선형 설정으로 확장한다.
• Kähler 다양체에서 $k$-초구형성과 음성 $k$-스칼라 곡률 간의 관계를 탐구한다.
• 영역과 목표 다양체의 해석적 섹션 곡률에만 의존하는 새로운 샤우츠 추정치를 유도한다.
• 해석적 사상이 완전히 지오데식이 되는 조건을 설정하여 조화 사상 이론의 결과를 일반화한다.
• 부분미분-바라다-보흐너 공식과 체적 기반 추정치를 통해 초구형성과 곡률 개념을 통합한다.

제안 방법

• 모든 $A > 0$ 에 대해 $\log(A + \|\partial f\|^2)$ 가 다중하나형임을 보이기 위해 $\partial\bar{\partial}$-보흐너 공식을 활용하여 곡률 추정치를 도출한다.
• 로그 성장보다 느린 성장 조건을 가진 다중하나형 함수에 대한 리우빌 정리를 적용하여 해석적 사상의 행동을 제약한다.
• 지오데식의 라플라스 연산자에 대한 국소적 추정치를 도출하기 위해 정규 좌표계를 사용하며, 곡률 항과 미분의 노름 간의 관계를 설정한다.
• 영역 $\mathbb{D}^k$ 에서 $N$ 으로의 해석적 사상에 의해 $k$-벡터에 대한 의사노름을 정의하고, 이 노름이 진정한 노름이 되는 조건으로 $k$-초구형성을 정의한다.
• $f_\ell(z) = f(\rho_{1/\ell}(z))$ 를 이용한 척도 조정 기법을 통해, $\mathbb{C}^k$ 에서의 비퇴화된 해석적 사상이 존재하는 것은 의사노름이 0이 되는 것과 동치임을 보인다.
• 국소 곡률 부등식을 수립한다: 음성 해석적 섹션 곡률 $H \leq -\kappa|X|^4$ 조건 하에서 $R^N_{i\bar{i}j\bar{j}}|f^i_\alpha|^2|f^j_\gamma|^2 \leq -\frac{d+1}{2d}\kappa\|\partial f\|^4$.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Kähler 다양체 간 해석적 사상이 완전히 지오데식이 되는 곡률 및 성장 조건은 무엇인가?
• RQ2 Kähler 다양체에서 $k$-초구형성은 $k$-스칼라 곡률의 음성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 영역과 목표 다양체의 해석적 섹션 곡률에만 기반한 샤우츠 추정치를 유도할 수 있는가?
• RQ4 영역 $\mathbb{D}^k$ 에서의 해석적 사상에 의해 정의된 의사노름이 진정한 노름이 되는 것은 곧 다양체가 $k$-초구형임과 동치인가?
• RQ5 선형 분할 정리는 어느 정도까지 비선형 해석적 사상으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 해석적 사상 $f: M \to N$ 에 대해, $M$ 이 비음성 이차형 군형 곡률을 가지며 $N$ 이 비음성 이차형 군형 곡률을 가질 경우, $\|df\|$ 가 임의의 $\epsilon > 0$ 에 대해 $r^\epsilon$ 보다 느리게 증가하면, 이 사상은 완전히 지오데식이다.
• 모든 $m=1$ 에 대해, 동일한 조건 하에서 $N$ 이 비음성 해석적 섹션 곡률을 가질 경우 동일한 결론이 성립한다.
• 해석적 섹션 곡률에만 기반한 새로운 샤우츠 추정치를 증명한다: $H^N \leq -\kappa|X|^4$ 이면 $\Delta\|\partial f\|^2 \geq -\frac{d+1}{2d}\kappa\|\partial f\|^4 - K\|\partial f\|^2$.
• 콤���트 Kähler 다양체 $N$ 의 $k$-초구형성은 $\|v_1 \wedge \cdots \wedge v_k\|_k$ 가 $k$-벡터에서 진정한 노름임과 동치이다.
• 의사노름이 노름이 아니면, 비퇴화된 해석적 사상 $f: \mathbb{C}^k \to N$ 가 존재하며, 이는 다양체가 $k$-초구형이 아니라는 것을 의미한다.
• $k$-평면 $\Sigma$ 에 대해 모든 $S_k(y, \Sigma) < 0$ 이면 $N$ 은 $k$-초구형이며, 이는 코바야시 초구형성의 일반화이다 ($k=1$).