[논문 리뷰] Liouville type theorems, a priori estimates and existence of solutions for non-critical higher order Lane-Emden-Hardy equations

Wei Dai, Shaolong Peng외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 30.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 25인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 특이한 포텐셜을 가진 비임계 고차수 Lane-Emden-Hardy 방정식에 대해 리우빌 정리를 수립하며, 특정한 지수와 차원 조건 하에서 유일한 비음성 고전적 해는 자명한 해($u \equiv 0$)임을 증명한다. 국소적인 이동 평면 방법과 붕괴 분석을 통해 사전 추정치를 도출하고, 위상수학적 차수 이론을 이용하여 유계 영역에서 양해의 존재성을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, we are concerned with the non-critical higher order Lane-Emden-Hardy equations \begin{equation*} (-Δ)^{m}u(x)=\frac{u^{p}(x)}{|x|^{a}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, ext{in} \,\,\, \mathbb{R}^{n} \end{equation*} with $n\geq3$, $1\leq m

연구 동기 및 목표

• 특이한 포텐셜을 가진 비임계 고차수 Lane-Emden-Hardy 방정식에 대해 $\mathbb{R}^n$에서 리우빌형 정리를 수립한다.
• 리우빌 결과를 활용하여 유계 영역에서 양해의 사전 추정치를 도출한다.
• 위상수학적 차수 방법을 이용하여 유계이고 매끄러운 영역에서 고차수 내비에르 문제에 대한 양해의 존재성을 증명한다.
• 이전의 임계 차수 방정식 결과를 일반적인 $a \in [0, 2m)$ 및 부분임계 범위의 $p$로 비임계 경우로 확장한다.

제안 방법

• 해의 대칭성과 단조성을 $\mathbb{R}^n$에서 증명하기 위해 국소적인 이동 평면 방법을 적용한다.
• 큰 국소적 값에서의 모순을 이끌어내기 위해 붕괴 분석을 활용한다. 이는 리우빌형 결과로 이어진다.
• 켈빈 변환과 초다항성 성질을 이용하여 무한대 및 원점 근처에서 해의 행동을 분석한다.
• 고유함수와 경계층 두께를 비교하여 사전 추정치를 유도하며, $0 \leq t < C_2$ 범위에서 $t$에 대해 일관된 형태로 유도한다.
• 편미분 문제 $(-\Delta)^m u = u^p + t$에 위상수학적 차수 이론을 적용하여 해의 존재성을 증명한다.
• 정규성 이론에 기반하여 해 $u$가 $C^{2m}(\Omega) \cap C^{2m-2}(\overline{\Omega})$에 속함을 결론짓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비임계 고차수 Lane-Emden-Hardy 방정식 $(-\Delta)^m u = u^p / |x|^a$는 $1 < p < \frac{n+2m-2a}{n-2m}$ 조건을 만족할 때 $\mathbb{R}^n$에서 $0 \leq a < 2$ 이면 비자명한 비음성 해를 가질 수 있는가?
• RQ2 비임계 지수 영역에서, 유계 영역에서 양해의 사전 추정치는 균일하게 유계가 될 수 있는가?
• RQ3 유계 영역에서 $(-\Delta)^m u = u^p$에 대한 내비에르 문제에 대해 차수 이론적 방법을 통해 양해의 존재성이 보장되는가?
• RQ4 다음의 경우 $2 \leq a < 2m$ 에서 $p$가 임의로 클 수 있을 때 결과는 어떻게 확장되는가?
• RQ5 국소적인 이동 평면 방법이 특이적이고 고차수 방정식에 대한 리우빌형 정리를 증명하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 조건 $n \geq 3$, $1 \leq m < n/2$, $0 \leq a < 2m$, 그리고 $1 < p < \frac{n+2m-2a}{n-2m}$ (만약 $0 \leq a < 2$ 이면) 또는 $1 < p < \infty$ (만약 $2 \leq a < 2m$ 이면)를 만족할 때, $\mathbb{R}^n$에서 $(-\Delta)^m u = u^p / |x|^a$의 유일한 비음성 고전적 해는 $u \equiv 0$이다.
• 유계 영역에서 양해의 사전 추정치는 $0 \leq t < C_2$ 범위에서 $t$에 대해 균일하게 유도되며, 이는 $n, m, p, C_2, \lambda_1$, 및 $\Omega$에 의존한다.
• 유계 영역에서 내비에르 문제 $(-\Delta)^m u = u^p$에 대한 양해의 존재성이 위상수학적 차수 이론을 통해 증명되었으며, $\|u\|_{L^\infty(\overline{\Omega})} \leq C_0 + \rho$ (어떤 $C_0 > 0$)를 만족한다.
• 붕괴 수열과 극한 방정식 $(-\Delta)^m v = v^p$의 해로 수렴하는 모순 증명을 통해 증명에 기반한다. 이 극한 해는 리우빌 정리에 의해 반드시 0이어야 한다.
• 사전 추정치는 $[0, C_2)$ 범위의 $t$에 대해 균일하게 유지되며, 차수 이론적 증명에서 컴팩턴스를 보장한다.
• 내비에르 문제의 해 $u$는 $C^{2m}(\Omega) \cap C^{2m-2}(\overline{\Omega})$에 속함을 확인하여 해의 정규성을 입증한다.