[논문 리뷰] Lipschitz Properties of Nonsmooth Functions and Set-Valued Mappings via Generalized Differentiation and Applications

Nguyen Mau Nam, Gerardo Lafferriere|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 07.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 미분 도구, 특히 Mordukhovich의 초미분 및 코미분 기준을 사용하여 비미분 가능 함수—특히 최소 시간 함수와 스칼라화 함수—의 리프시츠 연속성에 대한 필수 및 충분 조건을 수립한다. 주요 기여는 경계점에서 특이 초미분의 자명성과 방향 벡터에 대한 정규근의 교차성 조건을 통해 리프시츠 행동을 특성화하는 것이다.

ABSTRACT

In this paper, we revisit the Mordukhovich's subdifferential criterion for Lipschitz continuity of nonsmooth functions and coderivative criterion for the Aubin/Lipschitz-like property of set-valued mappings in finite dimensions. The criteria are useful and beautiful results in modern variational analysis showing the state of the art of the field. As an application, we establish necessary and sufficient conditions for Lipschitz continuity of the minimal time function and the scalarization function, that play an important role in many aspects of nonsmooth analysis and optimization.

연구 동기 및 목표

• 유한차원 변분해석에서 Mordukhovich의 초미분 및 코미분 기준을 재검토하고 정교화하여 리프시츠 성질을 분석한다.
• 최소 시간 함수와 스칼라화 함수의 리프시츠 연속성에 대한 필요 및 충분 조건을 수립한다.
• 이론적 일반화된 미분과 비미분 최적화 및 민감도 분석 분야의 실용적 응용 간의 다리를 놓는다.
• 집합값 함수에 대한 제한 정규근을 사용한 Aubin/리프시츠 유사 성질의 특성화를 확장한다.
• 특이 초미분과 정규근의 교차성 조건을 통해 리프시츠 연속성의 완전한 특성화를 제공한다.

제안 방법

• 비미분 함수의 리프시츠 행동을 분석하기 위해 Mordukhovich의 제한 정규근 및 초미분 이론을 활용한다.
• 코미분 기준을 적용: $ (\bar{x},\bar{y}) $ 주변에서 Aubin 성질이 성립하는 것은 $ (u,0) \in N((\bar{x},\bar{y});\text{gph}\,\mathcal{F}) \Rightarrow u = 0 $ 와 동치이다.
• 중앙 연구 대상으로 최소 시간 함수 $ \varphi_d(x;\Omega) = \inf\{ t \geq 0 \mid x + td \in \Omega \} $ 를 사용한다.
• 거리 함수와 사영을 활용하여 제한 정규근을 통한 초미분 표현을 유도한다.
• 리프시츠 연속성에 대한 필요 및 충분 조건으로 특이 초미분 $ \partial^\infty \varphi_d(\bar{x};\Omega) = \{0\} $ 를 적용한다.
• 제한 정규근 표현을 수립: $ \partial \varphi_d(\bar{x};\Omega) = \{ w \in \mathbb{R}^n \mid \langle w, -d \rangle = 1, \, w \in N(\tilde{x};\Omega) \} $, 여기서 $ \tilde{x} = \bar{x} + t d $.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점 $ \bar{x} \in \text{dom}\, \varphi_d(\cdot;\Omega) $ 주변에서 최소 시간 함수 $ \varphi_d(\cdot;\Omega) $ 가 리프시츠 연속이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 Mordukhovich의 코미분 기준을 사용하여 집합값 함수의 Aubin 성질을 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ3 최소 시간 함수의 특이 초미분과 그 리프시츠 연속성 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 정규근 $ N(\tilde{x};\Omega) \cap \{d\}^\perp = \{0\} $ 가 최소 시간 함수 $ \varphi_d(\cdot;\Omega) $ 의 리프시츠 연속성을 유도하는 조건는 언제인가?
• RQ5 코미분 기준을 적용하여 스칼라화 함수의 리프시츠 연속성에 대한 필요 및 충분 조건을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 최소 시간 함수 $ \varphi_d(\cdot;\Omega) $ 는 $ \bar{x} $ 주변에서 리프시츠 연속이 되기 위한 필요 및 충분 조건이 $ \partial^\infty \varphi_d(\bar{x};\Omega) = \{0\} $ 이며, 이는 $ \tilde{x} = \bar{x} + t d $, $ t = \varphi_d(\bar{x};\Omega) $ 일 때 $ N(\tilde{x};\Omega) \cap \{d\}^\perp = \{0\} $ 와 동치이다.
• 정규성 조건 하에서 최소 시간 함수의 제한 초미분은 $ \partial \varphi_d(\bar{x};\Omega) = \{ w \in \mathbb{R}^n \mid \langle w, -d \rangle = 1, \, w \in N(\tilde{x};\Omega) \} $ 를 만족한다.
• 특이 초미분 $ \partial^\infty \varphi_d(\bar{x};\Omega) = \{0\} $ 는 $ \varphi_d(\cdot;\Omega) $ 가 $ \bar{x} $ 주변에서 리프시츠 연속이 되기 위한 필요 및 충분 조건이다.
• 만약 $ \Omega $ 가 $ \tilde{x} $ 에서 정규적으로 규칙적이라면, $ N(\tilde{x};\Omega) \cap \{d\}^\perp = \{0\} $ 는 최소 시간 함수 $ \varphi_d(\cdot;\Omega) $ 의 리프시츠 연속성에 대해 필요 및 충분 조건이 된다.
• Aubin 성질에 대한 코미분 기준은 Mordukhovich의 정규근을 사용할 때 $ (u,0) \in N((\bar{x},\bar{y});\text{gph}\,\mathcal{F}) \Rightarrow u = 0 $ 조건과 동치이다.
• 스칼라화 함수는 최소 시간 함수와 유사한 정규근 및 초미분 조건을 만족할 경우 리프시츠 성질을 상속하며, 최소 시간 함수의 결과를 일반화한다.