[논문 리뷰] Lipschitz spaces generated by the Sobolev-Poincaré inequality and extensions of Sobolev functions

Pavel Shvartsman|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 02.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 1인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $p > n$ 인 경우 동차 소볼레프 공간 $L_p^{m+1}(\bbR^n)$ 가 특정 거리 $d$ 에 의해 유도된 리프시츠 공간 $C^{m,(d)}(\bbR^n)$ 의 합집합으로 표현될 수 있음을 입증한다. 이는 임의의 닫힌 부분집합 $E \subset \bbR^n$ 으로의 $L_p^{m+1}(\bbR^n)$ 의 추적(trace)에 대한 내재적 특성화를 일반화하며, 소볼레프-파인카레 부등식을 거리 기반으로 재구성함으로써 고전적 윌리엄슨 확장 정리를 소볼레프 공간으로 일반화한다.

ABSTRACT

Let $d$ be a metric on $R^n$ and let $C^{m,(d)}(R^n)$ be the space of $C^m$-function on $R^n$ whose partial derivatives of order $m$ belong to the space $Lip(R^n;d)$. We show that the homogeneous Sobolev space $L^{m+1}_p(R^n),p>n,$ can be represented as a union of $C^{m,(d)}(R^n)$-spaces where $d$ belongs to a family of metrics on $R^n$ with certain "nice" properties. This enables us in several important cases to give intrinsic characterizations of the restrictions of Sobolev spaces to arbitrary closed subsets of $R^n$. In particular, we generalize the classical Whitney extension theorem for the space $C^m(R^n)$ to the case of the Sobolev space $L^m_p(R^n)$ whenever $m\ge 1$ and $p>n$.

연구 동기 및 목표

• 임의의 닫힌 부분집합 $E \subset \bbR^n$ 에 대해 $p > n$ 인 경우 $L_p^{m+1}(\bbR^n)$ 의 제약 조건에 대한 내재적 특성화를 제공하는 것.
• 모든 $m \geq 1$ 과 $p > n$ 인 경우 고전적 윌리엄슨 확장 정리를 $C^m(\bbR^n)$ 에서 소볼레프 공간 $L_p^m(\bbR^n)$ 으로 일반화하는 것.
• $L_p^{m+1}(\bbR^n)$ 가 소볼레프-파인카레 부등식에서 유도된 거리 $d$ 를 통해 $C^{m,(d)}(\bbR^n)$ 공간들의 합집합으로 표현될 수 있음을 보여주는 것.
• $L_p^1(\bbR^n)$ 스케일에서 고전적 윌리엄슨 확장 연산자의 보편성을 거리 변환 리프시츠 조건과 연결함으로써 설명하는 것.

제안 방법

• 수정된 소볼레프-파인카레 부등식을 통해 $L_p$-노름을 기반으로 한 기울기의 $L_p$-노름에서 유도된 $\bbR^n$ 상의 거리 $d$ 의 가족을 도입하는 것.
• $|\nabla F|$ 의 국소적 $L^q$ 평균을 기반으로 하는 의사거리 $\delta_q(x,y;h)$ 를 정의하며, 이는 $F \in L_p^1(\bbR^n)$, $p > n$ 인 경우 $|F(x) - F(y)|$ 를 유계화한다.
• $L_p^1(\bbR^n)$ 이 이러한 거리 $d$ 의 모임에 대해 $\operatorname{Lip}(\bbR^n; d)$ 의 합집합과 일치함을 증명함으로써 내재적 추적 특성화를 가능하게 한다.
• 윌리엄슨 큐브 분할과 이진 트리 구조를 사용하여 큐브 상에서 도함수의 진동을 제어하고, 이를 $L_p$-노름의 기울기와 연결한다.
• $L_p^m(\bbR^n)$ 에 속하는 $F$ 를 윌리엄슨 큐브 상에서 잔여 도함수의 합산 가능성 조건에 기반한 기준을 설정하는 것.
• 거리 기반 리프시츠 조건을 활용하여 윌리엄슨 확장 연산자를 적용함으로써 $E$ 에서 $\bbR^n$ 으로의 함수 확장을 수행하며, 이때 $L_p^m$-노름을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 닫힌 집합 $E \subset \bbR^n$ 에 대해 $p > n$ 인 경우 $L_p^{m+1}(\bbR^n)|_E$ 의 추적 공간이 내재적으로 특성화될 수 있는가?
• RQ2 고전적 윌리엄슨 확장 연산자가 $\operatorname{Lip}(E)$ 에서 $\operatorname{Lip}(\bbR^n)$ 으로 함수를 확장할 때, $p > n$ 인 경우 $L_p^1(\bbR^n)$ 에 속하는 성질을 유지하는가?
• RQ3 $L_p^{m+1}(\bbR^n)$ 이 특정 기하적 성질을 갖는 거리 $d$ 의 가족에 대해 $C^{m,(d)}(\bbR^n)$ 공간들의 합집합으로 표현될 수 있는가?
• RQ4 수정된 소볼레프-파인카레 부등식이 $L_p^1(\bbR^n)$ 함수의 진동을 제어하는 데 기여하는 거리를 생성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 거리 기반 리프시츠 조건을 통해 윌리엄슨 확장 연산자가 $m \geq 1$, $p > n$ 인 경우 $L_p^m(\bbR^n)$-노름을 유지하도록 어떻게 적응시킬 수 있는가?

주요 결과

• $p > n$ 인 경우 $L_p^1(\bbR^n)$ 은 국소적 $L^q$-평균을 통한 $|\nabla F|$ 의 $h$ 에 기반한 거리 $d$ 의 가족에 대해 $\operatorname{Lip}(\bbR^n; d)$ 의 합집합과 등록된 등거리 공간이다.
• 모든 $F \in L_p^1(\bbR^n)$, $p > n$ 에 대해 $|F(x) - F(y)| \leq \delta_q(x,y;h)$ 를 만족하는 $h \in L_p(\bbR^n)$ 이 존재하며, $\delta_q$ 는 $h^q$ 의 큐브 평균을 통해 정의되며, $\|h\|_{L_p} \leq C(n,p,q)\|F\|_{L_p^1}$ 이다.
• 고전적 윌리엄슨 확장 연산자는 $\operatorname{Lip}(E)$ 에서 $\operatorname{Lip}(\bbR^n)$ 으로의 선형적이고 연속적인 확장을 제공하며, $p > n$ 인 경우 $L_p^1(\bbR^n)$ 으로 확장되며, $L_p$-노름을 상수 배수 이내로 유지한다.
• $L_p^{m+1}(\bbR^n)|_E$ 의 추적 공간은 윌리엄슨 큐브 상에서 잔여 도함수의 합산 가능성에 의해 내재적으로 특성화되며, $L_p^m(\bbR^n)$-노름은 매개변수 $\lambda$ 에 의해 제어된다.
• $L_p^m(\bbR^n)$-노름이 유지되기 위해서는 인접한 윌리엄슨 큐브 상에서 $m$-차 도함수 잔여의 차이가 $\lambda^{1/p}$ 를 포함하는 합산 가능성 조건을 만족해야 한다.
• 증명은 $F \in L_p^m(\bbR^n)$ 이라는 조건이 거리 기반의 진동 조건을 통한 기울기의 $L_p$-노름 제어와 동치임을 보이며, 고전적 윌리엄슨 확장 정리를 소볼레프 공간으로 일반화한다.