[논문 리뷰] Listening to the cohomology of graphs

Oliver Knill|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 05.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일차원 유한 심플렉스 복합체(그래프)에서 연결 라플라시안 $L$의 스펙트럼이 고유값 수세기로 바티 수 $b_0$와 $b_1$를 결정함을 입증한다: $b_0$는 고유값이 1인 개수이며, $b_1$는 고유값이 -1인 개수이다. 또한 허지 라플라시안 $H$가 $L - L^{-1}$와 유사함을 보이며, 이는 $L$의 스펙트럼 데이터와 코homological 불변량 사이에 새로운 스펙트럼 대응을 맺는다.

ABSTRACT

We prove that the spectrum of the Kirchhoff Laplacian H0 of a finite simple Barycentric refined graph and the spectrum of the connection Laplacian L of G determine each other: we prove that L-L^(-1) is similar to the Hodge Laplacian H of G which is in one dimensions the direct sum of the Kirchhoff Laplacian H0 and its 1-form analog H1. The spectrum of a single choice of H0,H1 or H alone determines the Betti numbers b0,b1 of G as well as the spectrum of the other matrices. It follows that b0 is the number of eigenvalues 1 of L and that b1 is the number of eigenvalues -1 of L. For a general abstract finite simplicial complex G, we express the matrix entries g(x,y) = w(x) w(y) X( St(x) cap St(y) ) of the inverse of L using stars St(x)= { z in G | x subset of z } of x and w(x)=(-1)^dim(x) and Euler characteristic X. One can see W+(x)=St(x) and W-(x)={ z in G | z subset x } as stable and unstable manifolds of a simplex x in G and g(x,y) =w(x) w(y) X(W+(x) cap W+(y)) as heteroclinic intersection numbers or curvatures and the identity L g=1 as a collection of Gauss-Bonnet formulas. The homoclinic energy w(x)=X(W+(x) cap W-(x)) by definition adds up to X(G). The matrix M(x,y)=w(x) w(y) X(W-(x) cap W-(y)) is similar to L(x,y)=X(W-(x) cap W-(y)). The sum of the matrix entries of M is the definition of Wu characteristic. For dimension 2 and higher we don't know yet how to recover the Betti numbers from the eigenvalues of the matrix H or from L. So far, it can only be obtained from a collection of block matrices, via the Hodge relations b_k = dim(H_k). A natural conjecture is that for a Barycentric refinement of a complex G, the spectrum of L determines the Betti vector. We know this now in one dimensions.

연구 동기 및 목표

• 유한 심플렉스 복합체에서 연결 라플라시안 $L$의 스펙트럼이 바티 수와 같은 위상수학적 불변량을 포함하는지 여부를 규명하는 것.
• 일차원 복합체에서 $L$, 그 역행렬 $L^{-1}$, 그리고 허지 라플라시안 $H = (d + d^*)^2$ 사이의 스펙트럼 관계를 조사하는 것.
• 일차원 복합체를 초월해 고유값이 $L$의 $b_k$ 바티 수를 $k=0,1$ 이외의 경우로 복원할 수 있는지 탐색하는 것.
• 녹색 함수 성분 $g(x,y)$를 별들 $\mathrm{St}(x) \cap \mathrm{St}(y)$의 위상적 교차로 표현하여 스펙트럼 데이터와 곡률 및 오일러 특성 수를 연결하는 것.
• 유사성을 통한 $L$과 $H$ 사이의 스펙트럼 대응을 확립하여 1차원 경우에 코homological 불변량을 $L$의 스펙트럼으로 읽을 수 있도록 하는 것.

제안 방법

• 심플렉스 $x$와 $y$가 교차하면 $L(x,y) = 1$, 그렇지 않으면 $0$이 되는 연결 행렬을 정의하여 유모듈라 행렬을 형성한다.
• 행렬 $R$이 대각선 행렬이며 $R_{ii} = \omega(x_i) = (-1)^{\dim(x_i)}$일 때, 허지 라플라시안 $H = (d + d^*)^2$가 $L - L^{-1}$와 유사하다는 것을 보인다.
• 별 $\mathrm{St}(x) = \{ z \in G \mid x \subset z \}$을 사용하여 녹색 함수 성분을 $g(x,y) = \omega(x)\omega(y)\chi(\mathrm{St}(x) \cap \mathrm{St}(y))$로 표현함으로써 스펙트럼 데이터와 위상적 교차를 연결한다.
• 안정 다변수 $W^+(x) = \mathrm{St}(x)$와 불안정 다변수 $W^-(x) = \{ z \in G \mid z \subset x \}$를 정의하고, $g(x,y)$를 이질적 궤도 교차 수로 해석한다.
• $M(x,y) = \omega(x)\omega(y)\chi(W^-(x) \cap W^-(y))$ 행렬이 $L$과 유사하며, 그 추적은 웨이 특성수 $\omega(G)$를 준다는 것을 증명한다.
• 일차원 복합체에서 $b_0 = \#\{ \lambda = 1 \text{ of } L \}$ 및 $b_1 = \#\{ \lambda = -1 \text{ of } L \}$임을 증명하여 고유값을 직접적으로 바티 수와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일차원 심플렉스 복합체의 바티 수 $b_0$와 $b_1$는 연결 라플라시안 $L$의 고유값으로 복원될 수 있는가?
• RQ2 허지 라플라시안 $H$는 $L - L^{-1}$와 유사한가? 그리고 이 유사성이 코homological 데이터의 스펙트럼 복원을 가능하게 하는가?
• RQ3 녹색 함수 성분 $g(x,y)$는 별 $\mathrm{St}(x) \cap \mathrm{St}(y)$의 오일러 특성 수로 표현될 수 있는가?
• RQ4 행렬 $L$의 고유값 $\lambda = 1$의 개수는 일차원 복합체에서 연결 성분 수 $b_0$와 일치하는가?
• RQ5 일차원 복합체에서 성질 $b_1$는 $L$의 고유값 $\lambda = -1$의 개수로 복원될 수 있는가?

주요 결과

• 일차원 복합체에서 바티 수 $b_0$와 $b_1$는 각각 $L$의 스펙트럼에서 고유값이 1인 개수와 -1인 개수로 결정된다.
• 허지 라플라시안 $H$는 대각선 행렬 $R$을 통해 $L - L^{-1}$와 유사하며, $R_{ii} = \omega(x_i)$이므로 스펙트럼 대응이 확립된다.
• 녹색 함수 성분은 $g(x,y) = \omega(x)\omega(y)\chi(\mathrm{St}(x) \cap \mathrm{St}(y))$로 주어지며, 이는 스펙트럼 데이터를 위상적 교차로 표현한다.
• $M(x,y) = \omega(x)\omega(y)\chi(W^-(x) \cap W^-(y))$ 행렬은 $L$과 유사하며, 그 추적은 웨이 특성수 $\omega(G)$를 준다.
• 오일러 특성 수 $\chi(G)$는 $L$의 양의 고유값 개수에서 음의 고유값 개수를 뺀 값과 같다. 이는 기존 결과를 일차원 복합체로 일반화한 것이다.
• 고차원($r \geq 2$)에서는 아직 $L$ 또는 $H$의 스펙트럼으로부터 바티 수 $b_k$를 복원할 수는 없지만, 바리센트 리파인먼트의 경우 이 성립할 수 있다는 추측이 존재한다.