[논문 리뷰] Littelmann path model for geometric crystals, Whittaker functions on Lie groups and Brownian motion

Reda Chhaibi|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 04.

Bayesian Methods and Mixture Models인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 복소 단순 리 군의 기하 천체에 대한 Littelmann 경로 모델을 수립하여 표현 이론과 확률을 연결한다. 이는 위너 측도와 전순도를 통해 정규 측도를 구성함으로써 이루어지며, Whittaker 함수가 이 측도의 라플라스 변환이라고 밝혀지며, 이는 조합 천체에서의 특성치를 일반화하고 기하적 설정에서 Duistermaat-Heckman 측도와 Littlewood-Richardson 규칙을 복원한다.

ABSTRACT

Generally speaking, this thesis focuses on the interplay between the representations of Lie groups and probability theory. It subdivides into essentially three parts. In a first rather algebraic part, we construct a path model for geometric crystals in the sense of Berenstein and Kazhdan, for complex semi-simple Lie groups. We will mainly describe the algebraic structure, its natural morphisms and parameterizations. The theory of total positivity will play a particularly important role. Then, we anticipate on the probabilistic part by exhibiting a canonical measure on geometric crystals. It uses as ingredients the superpotential for the flag manifold and a measure invariant under the crystal actions. The image measure under the weight map plays the role of Duistermaat-Heckman measure. Its Laplace transform defines Whittaker functions, providing an interesting formula for all Lie groups. Then it appears clearly that Whittaker functions are to geometric crystals, what characters are to combinatorial crystals. The Littlewood-Richardson rule is also exposed. Finally we present the probabilistic approach that allows to find the canonical measure. It is based on the fundamental idea that the Wiener measure will induce the adequate measure on the algebraic structures through the path model. In the last chapter, we show how our geometric model degenerates to the continuous classical Littelmann path model and thus recover known results. For example, the canonical measure on a geometric crystal of highest weight degenerates into a uniform measure on a polytope, and recovers the parameterizations of continuous crystals.

연구 동기 및 목표

• 복소 단순 리 군의 기하 천체에 대한 Littelmann 경로 모델을 개발한다.
• 초위력과 천체 작용에 대한 불변성에 기반해 기하 천체 위에 정규 측도를 구성한다.
• 이 측도의 라플라스 변환으로 모든 리 군에서 Whittaker 함수를 도출한다.
• Whittaker 함수가 조합 천체에서의 특성치와 동일한 역할을 기하 천체에서 수행함을 보여준다.
• 기하 모델의 특성에 기반해 기존 결과인 Littlewood-Richardson 규칙과 다각형 위의 균일 측도를 고전 연속 경로 모델로의 분해를 통해 복원한다.

제안 방법

• Berenstein과 Kazhdan의 프레임워크를 활용하여 전순도를 강조하는 기하 천체를 위한 경로 모델을 구성한다.
• 기하 천체 위에 초위력과 천체 작용에 대한 불변성에 기반해 정규 측도를 정의한다.
• 무게 사상으로 측도를 사영하여 그 상이 Duistermaat-Heckman 유형 측도임을 확인한다.
• 이 측도의 라플라스 변환으로 Whittaker 함수를 도출하여 모든 리 군에 대해 통용 가능한 공식을 확립한다.
• 경로 위에 위너 측도를 적용하여 기하 천체 위의 정규 측도를 유도함으로써 확률과 대수적 구조를 연결한다.
• 기하 모델이 연속 고전 Littelmann 경로 모델로 분해됨을 보이며, 기존 결과를 복원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 복소 단순 리 군의 기하 천체에 대해 Littelmann 경로 모델을 확장할 수 있는가?
• RQ2 전순도와 불변성에 기반해 자연스럽게 기하 천체 위에 나타나는 정규 측도는 무엇인가?
• RQ3 어떻게 모든 리 군에서 이 측도의 라플라스 변환으로 Whittaker 함수가 유도되는가?
• RQ4 Whittaker 함수는 기하 천체의 맥락에서 특성치를 어떻게 일반화하는가?
• RQ5 기하 모델은 어떻게 고전 연속 경로 모델로 분해되며, 어떤 기존 결과가 복원되는가?

주요 결과

• 기하 천체 위의 정규 측도는 플라그 다양체 위의 초위력과 천체 작용에 대한 불변성에 기반해 구성된다.
• 이 측도의 무게 사상에 의한 상은 Duistermaat-Heckman 측도로 확인되며, 심플렉틱 기하학에서 알려진 결과를 일반화한다.
• Whittaker 함수는 정규 측도의 라플라스 변환으로서, 모든 복소 단순 리 군에 대해 유효한 통용 가능한 공식을 제공한다.
• Whittaker 함수는 기하 천체에서 조합 천체에서의 특성치와 동일한 역할을 수행한다.
• 기하 천체의 구조와 그 측도에 기반해 Littlewood-Richardson 규칙이 복원된다.
• 기하 모델이 연속 고전 Littelmann 경로 모델로 분해됨으로써 다각형 위의 균일 측도와 연속 천체의 기존 매개변수화가 복원된다.