[논문 리뷰] $Lmc-$compactification of a semitopological semigroup as a space of e-ultrafilters

M. Akbari Tootkaboni|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 13.

Rings, Modules, and Algebras참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $Lmc$-compactification을 $e$-초월필터의 공간으로 재구성하여, 이(compactification)의 위상적 및 대수적 특성을 규명한다. 주요 기여는 $S^* = S^{Lmc} \setminus \varepsilon(S)$가 왼쪽 아이디얼이 되는 필요충분조건을 제시하는 것이다: 모든 $x,y \in S$에 대해, $x \in A^\dagger$이고 $\{t \in S : yt \in A\}$가 컴팩트인 컴팩트 제로집합 $A$가 존재한다.

ABSTRACT

Let $S$ be a semitopological semigroup and $\mathcal{CB}(S)$ denotes the $C^*$-algebra of all bounded complex valued continuous functions on $S$ with uniform norm. A function $f\in \mathcal{CB}(S)$ is left multiplicative \linebreak continuous if and only if $\mathbf{T}_μf\in \mathcal{CB}(S)$ for all $μ$ in the spectrum of $\mathcal{CB}(S)$, where $\mathbf{T}_μf(s)=μ(L_sf)$ and $L_sf(x)=f(sx)$ for each $s,x\in S$. The collection of all left multiplicative continuous functions on $S$ is denoted by $Lmc(S)$. In this paper, the $Lmc-$compactification of a semitopological semigroup S is reconstructed as a space of $e-$ultrafilters. This construction is applied to obtain some algebraic properties of \linebreak $(\varepsilon ,\s)$, that $ \s $ is the spectrum of $Lmc(S)$, for semitopological semigroups $S$. It is shown that if S is a locally compact semitopological semigroup, then $S^*=\s \setminus \varepsilon(S)$ is a left ideal of $\s$ if and only if for each $x,y\in S$, there exists a compact zero set $A$ such that $x\in A$ and $\{t\in S:yt\in A\}$ is a compact set.

연구 동기 및 목표

• 세미위상적 세미군의 $Lmc$-compactification을 $e$-초월필터를 사용하여 새로운 위상적 및 대수적 구조로 제공하는 것.
• 왼쪽 곱으로 연속적인 함수들의 대수 $Lmc(S)$의 스펙트럼 $S^{Lmc}$의 구조를 특성화하는 것.
• 국소적 컴팩트한 세미위상적 세미군에서 $S^* = S^{Lmc} \setminus \varepsilon(S)$가 $S^{Lmc}$ 내에서 왼쪽 아이디얼이 되는 조건을 규명하는 것.
• 기존의 Stone-Čech compactification ($\beta S$) 결과를 $Lmc$-compactification 프레임워크로 확장하는 것.
• 특히 국소적 컴팩트한 세미위상적 세미군에서, 위상적 취소법칙과 아이디얼 구조 간의 관계를 명확히 하는 것.

제안 방법

• $\mathcal{CB}(S)$의 스펙트럼에 속하는 모든 $\mu$에 대해, $s \mapsto \mu(L_s f)$가 $\mathcal{CB}(S)$에 속하는 함수로 정의되는, $S$ 위의 유계 복소수값 연속함수들의 $C^*$-대수 $Lmc(S)$를 정의한다.
• $Lmc(S)$의 스펙트럼으로서 $Lmc$-compactification $S^{Lmc}$를 정의하고, Gelfand 위상을 부여한다.
• $Lmc(S)$의 함수들의 제로집합을 통해 정의된 $e$-필터를 이용해 $S^{Lmc}$를 $e$-초월필터의 공간으로 재구성한다.
• $e$-초월필터의 공간에 위상을 부여하고, 이에 이진 연산을 정의하여 오른쪽 위상적 세미군을 만든다.
• $z$-필터와 $e$-필터의 대응관계를 이용해 $\mathcal{CB}(S)$와 $Lmc(S)$의 아이디얼 구조를 연결하며, [3, 2L]의 기법을 응용한다.
• 이 구조를 적용하여 $S^{Lmc}$의 아이디얼 구조, 특히 $S^* = S^{Lmc} \setminus \varepsilon(S)$의 성질을 분석하고, 이가 왼쪽 아이디얼이 되는 조건을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소적 컴팩트한 세미위상적 세미군 $S$에 대해, $S^* = S^{Lmc} \setminus \varepsilon(S)$가 $S^{Lmc}$ 내에서 왼쪽 아이디얼이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 세미위상적 세미군의 $Lmc$-compactification은 어떻게 $e$-초월필터의 공간으로 특성화될 수 있는가?
• RQ3 위상적 약한 왼쪽 취소법칙과 $S^{Lmc}$의 아이디얼 구조 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 Stone-Čech compactification ($\beta S$)의 성질들이 $S^{Lmc}$로 얼마나 일반화되는가?
• RQ5 평가 사상 $\varepsilon: S \to S^{Lmc}$가 열린지 또는 단사적인 조건은 무엇이며, 이는 $S^{Lmc}$의 대수적 구조와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• $Lmc$-compactification $S^{Lmc}$는 $e$-초월필터의 공간으로 재구성되어, 이(compactification)의 새로운 위상적 및 대수적 표현을 제공한다.
• 국소적 컴팩트하고 비콤팩트이며 하우스도르프인 세미위상적 세미군 $S$에 대해, $S^*$는 $S^{Lmc}$의 왼쪽 아이디얼이 되는 것과 동치이다: 모든 $x,y \in S$에 대해, $x \in A^\dagger$이고 $\{t \in S : yt \in A\}$가 컴팩트인 컴팩트 제로집합 $A$가 존재한다.
• 만약 $S$가 위상적으로 약한 왼쪽 취소법칙을 만족한다면, $S^*$는 $S^{Lmc}$의 닫힌 왼쪽 아이디얼이며, 반대로 $S^*$가 닫힌 왼쪽 아이디얼이라면 $S$는 위상적으로 약한 왼쪽 취소법칙을 만족한다.
• 국소적 컴팩트한 위상군 $G$에 대해, $G^*$는 $G^{\mathcal{LUC}}$의 왼쪽 아이디얼이 되는 것과 동치이며, 이는 $G$가 위상적으로 약한 왼쪽 취소법칙을 만족할 때이다.
• $Lmc$-compactification은 $\mathcal{LUC}$-compactification을 일반화하며, 국소적 컴팩트 군에 대해서는 $Lmc(G) = \mathcal{LUC}(G)$이며, 평가 사상이 열린다.
• 반례들은 $S$가 취소법칙을 만족하더라도 $S^*$가 부분세미군이거나 왼쪽 아이디얼이 되지 않을 수 있음을 보여주며, 이는 덧셈에 대해 $S = (1,\infty)$인 경우에 명백히 드러난다.