[논문 리뷰] LMI Properties and Applications in Systems, Stability, and Control Theory

Ryan J. Caverly, James Richard Forbes|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 20.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 152인용 수 76

한 줄 요약

시스템, 안정성 및 제어를 위한 LMI 성질, 요령 및 응용의 커뮤니티 기반 포괄 모음으로, SDPs 및 수치 도구에 대한 지침을 제공합니다.

ABSTRACT

Linear matrix inequalities (LMIs) commonly appear in systems, stability, and control applications. Many analysis and synthesis problems in these areas can be solved as feasibility or optimization problems subject to LMI constraints. Although most well-known LMI properties and manipulation tricks, such as the Schur complement and the congruence transformation, can be found in standard references, many useful LMI properties are scattered throughout the literature. The purpose of this document is to collect and organize properties, tricks, and applications related to LMIs from a number of references together in a single document. In this sense, the document can be thought of as an "LMI encyclopedia" or "LMI cookbook." Proofs of the properties presented in this document are not included when they can be found in the cited references in the interest of brevity. Illustrative examples are included whenever necessary to fully explain a certain property. Multiple equivalent forms of LMIs are often presented to give the reader a choice of which form may be best suited for a particular problem at hand. The equivalency of some of the LMIs in this document may be straightforward to more experienced readers, but the authors believe that some readers may benefit from the presentation of multiple equivalent LMIs.

연구 동기 및 목표

• 문헌에서 널리 흩어져 있는 LMI 성질과 요령을 모아 체계적으로 정리하여 시스템, 안정성 및 제어 이론에 활용하도록 한다.
• 문제별 형식화와 해법을 돕기 위해 서로 등가인 다양한 LMI 형태를 제공한다.
• 결정성(definiteness), LMI, SDP와 같은 기초 개념과 LMI 해법에 사용할 수 있는 실용적인 수치 도구를 설명한다.
• 연속 시간 및 이산 시간 시스템에서 분석과 합성 문제를 LMI가 어떻게 뒷받침하는지 보여준다.

제안 방법

• LMI, 결정성, 행렬 부등식에 대한 정의와 표기법을 제시한다.
• LMI 성질과 요령을 분류하고 묶는다(예: Schur 보완, Young의 관계, 투사 정리, dilation).
• LMI의 최적화 프레임워크로서의 semidefinite programming(SDP)과 쌍대성 개념을 논의한다.
• SDP 솔버와 LMI 파서 등 수치 도구와 그 상호 운용성에 대해 설명한다.
• 제어 이론 내에서 안정성, 소산성, 성능 분석에 LMI가 어떻게 등장하는지 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제어 이론 문제의 재구성을 위해 가장 유용한 LMI 성질과 요령은 무엇인가?
• RQ2 다른 등가 LMI 형태를 어떻게 활용하여 특정 분석 또는 합성 작업에 맞출 수 있는가?
• RQ3 Lyapunov 분석, Bounded Real, H2/H∞ 노름 및 관련 보조정리에 LMI와 SDP가 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 실제에서 LMI 기반 최적화를 가장 잘 지원하는 수치 도구(솔버, 파서)는 무엇인가?

주요 결과

• LMI는 시스템, 안정성 및 제어에서 타당성 및 최적화 문제에 대한 볼록 프레임워크를 제공한다.
• 다양한 LMI 조작 기법(예: Schur 보완, 합동대응, Young의 관계, 투사 정리)을 통해 유연한 재구성을 가능하게 한다.
• LMI는 Lyapunov 부등식, Bounded Real 보조정리, KYP, 소산성 및 다양한 노름과 안정성 분석을 포함한 광범위한 결과를 뒷받침한다.
• 수치 도구(SDP 솔버 및 LMI 파서)가 행렬 형태의 LMI를 계산용 표준 SDP 형태로 변환하는 데 도움을 준다.
• 본 문서는 연속-시간 및 이산-시간 영역에서 LMI를 구성하고 해결하는 데 연구자들을 돕기 위해 많은 성질과 요령을 그룹화하고 명확히 한다.