[논문 리뷰] Local algorithms for Maximum Cut and Minimum Bisection on locally treelike regular graphs of large degree

A. El Alaoui, Andrea Montanari외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 11. 12.

Graph theory and applications인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 큰 차수를 가진 국소적으로 트리 유사인 정규 그래프에서 근사 최적의 최대 컷 및 최소 이등분 분할을 계산하기 위한 局소 메시지 전달 알고리즘을 제시한다. 알고리즘은 O(nkL) 시간에 작동하며, 컷 값으로 nk/4 + nP⋆√(k/4) + o(n) + no(k)(√k) + n√k oL(1)을 달성한다. 여기서 P⋆ ≈ 0.763166은 파리지 상수이며, 이는 무작위 k-정규 그래프의 이론적 최적값과 일치하며, 국소 알고리즘 프레임워크 내에서 거의 최적임을 보여준다.

ABSTRACT

Given a graph $G$ of degree $k$ over $n$ vertices, we consider the problem of computing a near maximum cut or a near minimum bisection in polynomial time. For graphs of girth $2L$, we develop a local message passing algorithm whose complexity is $O(nkL)$, and that achieves near optimal cut values among all $L$-local algorithms. Focusing on max-cut, the algorithm constructs a cut of value $nk/4+ n\\mathsf{P}_\\star\\sqrt{k/4}+\\mathsf{err}(n,k,L)$, where $\\mathsf{P}_\\star\\approx 0.763166$ is the value of the Parisi formula from spin glass theory, and $\\mathsf{err}(n,k,L)=o_n(n)+no_k(\\sqrt{k})+n \\sqrt{k} o_L(1)$ (subscripts indicate the asymptotic variables). Our result generalizes to locally treelike graphs, i.e., graphs whose girth becomes $2L$ after removing a small fraction of vertices. Earlier work established that, for random $k$-regular graphs, the typical max-cut value is $nk/4+ n\\mathsf{P}_\\star\\sqrt{k/4}+o_n(n)+no_k(\\sqrt{k})$. Therefore our algorithm is nearly optimal on such graphs. An immediate corollary of this result is that random regular graphs have nearly minimum max-cut, and nearly maximum min-bisection among all regular locally treelike graphs. This can be viewed as a combinatorial version of the near-Ramanujan property of random regular graphs.

연구 동기 및 목표

• 국소적으로 트리 유사인 큰 차수의 정규 그래프에서 최대 컷 및 최소 이등분 문제에 대해 다항식 시간 내에 작동하는 국소 알고리즘을 설계한다.
• 무작위 k-정규 그래프에 대해 파리지 공식이 예측하는 이론적 최적값과 일치하는 컷 값을 달성한다.
• 무작위 k-정규 그래프에서의 결과를, 정점의 소수 부분을 제거한 후 고리가 긴 그래프로 넓힌 국소적으로 트리 유사인 그래프의 일반적인 클래스로 일반화한다.
• 알고리즘의 성능이 모든 L-국소 알고리즘 중 거의 최적이며, 오차 항이 n, k, L에 따라 감소함을 입증한다.
• 무작위 정규 그래프가 거의 최소 최대 컷과 거의 최대 최소 이등분을 달성함을 보이며, near-Ramanujan 성질의 조합론적 대응을 제공한다.

제안 방법

• 각 정점에서 루트를 가지며 깊이 L인 k-진수 트리에 대해 메시지 전달 프레임워크를 사용하며, 파리지 함수에서 유도된 비선형성을 가진 벨리프 전파를 시뮬레이션한다.
• 이전 계층의 메시지에 기반한 재귀적 업데이트를 통해 각 정점 v에 대해 국소 추정치 zv^L과 zv^L을 계산하며, 최적의 셰링턴-키르크패트릭 모델 해를 근사하기 위해 비선형성 Fℓ 및 Hℓ를 설계한다.
• 연속적인 메시지 출력을 ±1 할당 σi ∈ {−1, +1}으로 변환하기 위해 라운딩 절차를 적용하여, 최소 이등분의 경우 거의 균형 잡힌 분할을, 최대 컷의 경우 타당한 분할을 확보한다.
• 린데버그 교환 방법과 연속 시간 파리지 PDE를 비교하여 오차 한계를 도출하며, k → ∞일 때 파리지 상수 P⋆로 수렴함을 보인다.
• 분석은 오버랩 갭이 없는 가정과 파리지 함수의 성질을 활용하여 알고리즘의 출력과 이론적 최적값 사이의 차이를 한계화한다.
• 최종 해는 εn개의 부호를 뒤집어 이등분의 정확한 균형을 확보하며, 오차가 kε의 순서로 제어된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 큰 차수의 정규 그래프에서 국소 알고리즘이 거의 최적의 최대 컷 및 최소 이등분 값을 달성할 수 있는가?
• RQ2 이러한 알고리즘의 성능이 셰링턴-키르크패트릭 스핀 거품 모델의 파리지 공식이 예측하는 이론적 한계와 일치하는가?
• RQ3 알고리즘의 성능은 그래프의 고리 길이와 국소적 트리 유사성에 따라 어떻게 변화하며, 특히 차수 k가 매우 클 때 어떻게 변화하는가?
• RQ4 무작위 k-정규 그래프가 거의 최소 최대 컷과 거의 최대 최소 이등분을 달성하는 정도는 어느 정도이며, 이는 그들의 국소적 트리 유사성의 결과인가?
• RQ5 알고리즘의 오차는 n, k, L에 대해 정량화될 수 있으며, L이 증가함에 따라 최적 값으로 수렴하는가?

주요 결과

• 알고리즘은 최대 컷 값으로 nk/4 + nP⋆√(k/4) + o(n) + no(k)(√k) + n√k oL(1)을 달성하며, 이는 무작위 k-정규 그래프에 대해 알려진 점근적 최적값과 일치한다.
• 최소 이등분의 경우, 알고리즘이 이론적 최적값으로부터 O(√k) 이내의 컷 값을 생성하며, 동일한 오차 구조를 가지므로 거의 최적임을 확인한다.
• 파리지 상수 P⋆ ≈ 0.763166은 그래프 분할 문제와 스핀 거품 이론, SK 모델을 연결하는 핵심 척도 요소로 부각된다.
• 알고리즘의 오차는 n에 대해 o(n), k에 대해 no(k)(√k), L에 대해 n√k oL(1)로 감소하며, L이 증가함에 따라 최적 값으로 수렴함을 보여준다.
• 결과적으로, 무작위 k-정규 그래프가 거의 최소 최대 컷과 거의 최대 최소 이등분을 가지며, 이는 그들의 near-Ramanujan 스펙트럼 성질에 대한 조합론적 대응을 제공한다.
• 알고리즘의 복잡도는 O(nkL)이므로, 큰 차수와 중간 정도의 고리 길이를 가진 큰 그래프에 대해 효율적이다.