[논문 리뷰] Local and global canonical height functions for affine space regular automorphisms

Shu Kawaguchi|ArXiv.org|2009. 09. 19.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 9인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 수체 위의 아핀 공간에서 정규 다항형 자동사상에 대해 v-adic Green 함수를 이용하여 국소적 및 전역적 표준 높이 함수를 구축한다. 주기점에 대한 노스코트 유형의 유한성 성질을 확립하고, 반복에 따른 높이의 정확한 점근적 성장 추정을 도출하여, 이러한 자동사상의 산술 동역학 이론을 복원하고 확장한다.

ABSTRACT

Let f: A^N o A^N be a regular polynomial automorphism defined over a number field K. For each place v of K, we construct the v-adic Green functions G_{f,v} and G_{f^{-1},v} (i.e., the v-adic canonical height functions) for f and f^{-1}. Next we introduce for f the notion of good reduction at v, and using this notion, we show that the sum of v-adic Green functions over all v gives rise to a canonical height function for f that satisfies the Northcott-type finiteness property. Using previous results, we recover results on arithmetic properties of f-periodic points and non f-periodic points. We also obtain an estimate of growth of heights under f and f^{-1}, which is independently obtained by Lee by a different method.

연구 동기 및 목표

• 수체 위의 아핀 공간에서 정규 다항형 자동사상에 대한 국소 v-adic 표준 높이 이론을 개발한다.
• 모든 자리 v에 대해 국소 v-adic Green 함수의 합으로 전역 표준 높이 함수를 정의한다.
• 전역 높이 함수를 사용하여 f-주기점에 대한 노스코트 유형의 유한성 성질을 확립한다.
• f에 대한 정방향 및 역방향 반복에 따른 높이의 정확한 점근적 성장 추정을 도출한다.
• 기존의 수체 위에서의 동역계에서 주기점 및 비주기 궤도의 산술에 관한 결과를 복원하고 확장한다.

제안 방법

• 정방향 및 역방향 반복 하에 정규화된 로그 높이의 극한으로서 v-adic Green 함수 G_{f,v}와 G_{f^{-1},v}를 구성한다.
• 전역 높이 합의 수렴성과 유한성을 보장하기 위해 비아르키메데스 자리에서의 좋은 감소 성질의 개념을 도입한다.
• 힐베르트의 닐젠정리와 컴 pactness 추론을 사용하여 Green 함수의 균일한 상한과 하한, 성장 추정을 확립한다.
• 수체 K의 모든 자리 v에 대해 국소 v-adic Green 함수의 합으로 전역 표준 높이 함수를 정의한다.
• 이론을 적용하여 전역 높이 함수가 노스코트 유형의 유한성 성질과 궤도 점에 대한 정확한 점근적 성장 법칙을 만족함을 증명한다.
• 전역 높이 함수를 사용하여 f-주기점은 전역 표준 높이가 0인 점들로 특징지어지며, 궤도의 유계성은 모든 자리에서 국소적으로 유계임과 동치임을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 v-adic 접근을 사용하여 아핀 공간에서 정규 다항형 자동사상에 대한 표준 높이 함수를 구성할 수 있는가?
• RQ2 v-adic Green 함수의 합은 노스코트 유한성 성질을 만족하는 전역 표준 높이 함수를 유도하는가?
• RQ3 무한한 f-궤도에 속한 점들의 높이의 정확한 점근적 성장률은 무엇인가?
• RQ4 국소 v-adic Green 함수는 반복에 따라 어떻게 행동하며, 어떤 상한을 확립할 수 있는가?
• RQ5 전역 표준 높이의 영함수화는 f-주기점의 집합을 특징지울 수 있는가?

주요 결과

• v-adic Green 함수 G_{f,v}와 G_{f^{-1},v}는 점별 극한으로 존재하며, A^N의 특정 부분집합에서 균일한 상한과 하한을 만족한다.
• 전역 표준 높이 함수는 수체 K의 모든 자리 v에 대해 v-adic Green 함수의 합으로 정의되며, f-주기점에 대해 노스코트 유형의 유한성 성질을 만족한다.
• 무한한 f-궤도에서 높이가 유계인 점들의 수의 점근적 성장은 T → ∞ 일 때 # {y ∈ O_f(x) | h(y) ≤ T} = (1/log d + 1/log d_-) log T - ĥ(O_f(x)) + O(1) 으로 주어진다.
• 표준 높이 함수는 liminf_{h(x)→∞} [ (1/d)h(f(x)) + (1/d_-)h(f^{-1}(x)) ] / h(x) = 1 + 1/(dd_-) 를 만족하여 정확한 성장률을 보장한다.
• 점 x가 f-주기점일 필요충분조건은 모든 자리 v에서 v-adic 위상에서 궤도가 유계일 때이며, 이는 전역 표준 높이가 0임과 동치이다.
• 이 구성은 마르셀로의 주기점의 높이 유계성 결과와 이의 성장 추정을 복원하고 확장하며, 이제 모든 차원 N ≥ 2 에서 유효하다.