[논문 리뷰] Local controllability of reaction-diffusion systems around nonnegative stationary states

Kévin Le Balc’h|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 14.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 32인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 m < n 개인 국소적 제어를 사용하여, 역반응을 모델링하는 비선형 n×n 반응-확산 시스템이 비음수 일정 상태로 국소적으로 정확하게 제어 가능하다는 것을 확립한다. 접근법은 시스템을 분리시키기 위한 변수 변환, 새로운 L∞-적응 소스 항 방법, 그리고 역사상 정리의 조합이며, 유한 차원 부분시스템에 대한 스펙트럼 부등식과 관측 가능성 추정을 활용하여, 동역학 내의 불변량이 존재하더라도 임의의 시간 T > 0 에서의 제어 가능성을 달성한다.

ABSTRACT

We consider a $n \ imes n$ nonlinear reaction-diffusion system posed on a smooth bounded domain $\\Omega$ of $\\mathbb{R}^N$. This system models reversible chemical reactions. We act on the system through $m$ controls ($1 \\leq m &lt; n$), localized in some arbitrary nonempty open subset $\\omega$ of the domain $\\Omega$. We prove the local exact controllability to nonnegative (constant) stationary states in any time $T &gt;0$. A specificity of this control system is the existence of some invariant quantities in the nonlinear dynamics that prevents controllability from happening in the whole space $L^\\infty(\\Omega)^n$. The proof relies on several ingredients. First, an adequate affine change of variables transforms the system into a cascade system with second order coupling terms. Secondly, we establish a new null-controllability result for the linearized system thanks to a spectral inequality for finite sums of eigenfunctions of the Neumann Laplacian operator, due to David Jerison, Gilles Lebeau and Luc Robbiano and precise observability inequalities for a family of finite dimensional systems. Thirdly, the source term method, introduced by Yuning Liu, Tak\\'eo Takahashi and Marius Tucsnak, is revisited in a $L^{\\infty}$-context. Finally, an appropriate inverse mapping theorem enables to go back to the nonlinear reaction-diffusion system.

연구 동기 및 목표

• 역반응 동역학을 갖는 반응-확산 시스템의 국소적 정확한 제어 가능성 문제를 비음수 정적 상태로 해결하기 위한 것이다.
• 완전한 공간의 제어 가능성을 방해하는 비선형 동역학 내의 불변량이 초래하는 장애를 극복하기 위한 것이다.
• 비어 있지 않은 열린 부분집합 ω ⊂ Ω 내에서 m < n 개인 국소적 제어를 사용하여 임의의 시간 T > 0 에서의 제어 가능성을 확립하기 위한 것이다.
• 제어 구성에 대해 소스 항 방법을 L²에서 L∞-프레임워크로 확장하기 위한 것이다.
• 적절한 함수 공간에서의 역사상 정리를 적용하여 선형화된 설정으로부터 비선형 시스템의 제어 가능성을 복원하기 위한 것이다.

제안 방법

• 아핀 변수 변환을 통해 원래의 반응-확산 시스템을 2차 상호작용 항을 갖는 계단형 시스템으로 변환한다.
• 제르송, 레보, 로브يان의 결과에 기반한 뉴먼 라플라스 연산자의 고유함수 유한 합에 대한 스펙트럼 부등식을 사용하여 선형화된 시스템의 영 제어 가능성을 증명한다.
• 레베와 로브얀의 방법과 에너지 추정을 활용하여 유한 차원 부분시스템에 대한 정밀한 관측 가능성 부등식을 수립한다.
• 리우, 타카하시, 투크스나크의 소스 항 방법을 비선형 프레임워크에서 제어를 구성하기 위해 L∞-설정으로 재검토하고 적응시킨다.
• 적절한 함수 공간에서의 역사상 정리를 적용하여 선형 제어 가능성을 전체 비선형 시스템으로 확장한다.
• 벌점화된 힐버트 유일성 방법(HUM)을 사용하여 지수 감쇠를 갖는 시간 국소화 제어 문제의 시퀀스를 풀어 L∞-제어를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 역반응을 모델링하는 반응-확산 시스템이 상태 변수 수보다 적은 수의 제어를 사용하여 비음수 일정 상태로 국소적으로 정확하게 제어 가능할 수 있는가?
• RQ2 비선형 동역학 내의 불변량 존재는 국소적 정확한 제어 가능성과 어떻게 조화를 이룰 수 있는가?
• RQ3 소스 항 방법을 L²에서 L∞-프레임워크로 확장하여 반선형 포아르비우스 시스템의 제어를 구성할 수 있는가?
• RQ4 뉴먼 라플라스 연산자의 스펙트럼 성질이 시스템의 유한 차원 프로젝션에 대한 관측 가능성과 제어 가능성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 L∞-유형 공간에서 역사상 정리를 적용하여 선형화된 근사에서 비선형 제어 가능성을 복원할 수 있는가?

주요 결과

• m < n 인 국소적 제어를 사용하여, 임의의 시간 T > 0 에서 n×n 반응-확산 시스템이 비음수 일정 상태로 국소적으로 정확하게 제어 가능하다.
• 역반응에서 질량 보존에 기인한 시스템의 불변량은 비음수 정적 상태로 제한된 경우 제어 가능성을 방해하지 않는다.
• 유한 합의 뉴먼 고유함수에 대한 스펙트럼 부등식을 사용하여 선형화된 시스템에 대한 새로운 영 제어 가능 결과를 확립하였으며, 비용 추정은 Ce^{C/T} 형태를 갖는다.
• 소스 항 방법이 성공적으로 L∞-설정으로 적응되어, 벌점화된 HUM 접근법과 시간 간격 연결을 통해 L∞-제어를 구성할 수 있게 되었다.
• 적절한 L∞-프레임워크에서의 역사상 정리를 적용하여 선형 제어 가능성 결과를 전체 비선형 시스템으로 확장하였으며, 국소적 정확한 제어 가능성을 보장하였다.
• 전역 고전적 해의 존재를 요구하지 않고, 국소적 잘 정의됨과 L∞ 내 에너지 추정에 의존함으로써 제어 가능성을 달성하였다.