[논문 리뷰] Local Convergence of Adaptive Methods for Nonlinear Partial Differential Equations

Michael Holst, Gantumur Tsogtgerel외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 08.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 66인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 비선형 타원형 PDE에 적용된 적응형 유한요소법(AFEM)에 대한 수렴 이론을 구축하기 위해 두 가지 추상적 프레임워크를 도입한다: 국소 리프시츠 연산자의 Gateaux 도함수와 국소 inf-sup 조건을 갖는 비선형 연산자에 대한 약한-* 수렴 접근법과, 선형 수렴 결과를 비선형 문제로 확장하는 강한 수축 프레임워크이다. 주요 기여는 반선형 방정식, 나비에-스토크스 방정식, 일반 상대성 이론에서의 해밀토니안 제약 조건을 포함한 여러 중요한 비선형 설정에서 AFEM의 수렴성과 수축성을 입증하는 것이다.

ABSTRACT

In this article we develop convergence theory for a general class of adaptive approximation algorithms for abstract nonlinear operator equations on Banach spaces, and use the theory to obtain convergence results for practical adaptive finite element methods (AFEM) applied to several classes of nonlinear elliptic equations. In the first part of the paper, we develop a weak-* convergence framework for nonlinear operators, whose Gateaux derivatives are locally Lipschitz and satisfy a local inf-sup condition. The framework can be viewed as extending the recent convergence results for linear problems of Morin, Siebert and Veeser to a general nonlinear setting. We formulate an abstract adaptive approximation algorithm for nonlinear operator equations in Banach spaces with local structure. The weak-* convergence framework is then applied to this class of abstract locally adaptive algorithms, giving a general convergence result. The convergence result is then applied to a standard AFEM algorithm in the case of several semilinear and quasi-linear scalar elliptic equations and elliptic systems, including: a semilinear problem with subcritical nonlinearity, the steady Navier-Stokes equations, and a quasilinear problem with nonlinear diffusion. This yields several new AFEM convergence results for these nonlinear problems. In the second part of the paper we develop a second abstract convergence framework based on strong contraction, extending the recent contraction results for linear problems of Cascon, Kreuzer, Nochetto, and Siebert and of Mekchay and Nochetto to abstract nonlinear problems. The contraction result is then applied to a standard AFEM algorithm for semilinear problems with sub- and super-critical nonlinearities and for the Hamiltonian constraint in general relativity.

연구 동기 및 목표

• 베르누이 공간에서 비선형 연산자 방정식에 적용된 적응형 근사 알고리즘에 대한 일반적인 수렴 이론을 개발하는 것.
• 모린, 지버트, 비저가 선형 문제에 대해 확립한 수렴 결과를 약한-* 수렴 프레임워크를 통해 일반 비선형 설정으로 확장하는 것.
• 비선형 문제에 대한 수축 기반 수렴 프레임워크를 수립하여 캐스콘, 크루저, 노체토, 시버트의 결과를 일반화하는 것.
• 두 프레임워크를 반선형 및 양차 타원형 타원형 방정식에 대한 실용적인 AFEM 알고리즘에 적용하는 것.
• 포isson-볼츠만 방정식과 일반 상대성 이론에서의 해밀토니안 제약 조건을 포함한 도전적인 비선형 문제에서 AFEM의 수렴성과 수축성을 입증하는 것.

제안 방법

• 국소 구조를 갖는 베르누이 공간에서의 SOLVE-ESTIMATE-MARK-REFINE 루프 기반 추상적 적응형 알고리즘을 수립한다.
• 국소 리프시츠 연산자의 Gateaux 도함수와 국소 inf-sup 조건에 기반한 약한-* 수렴 프레임워크를 개발한다.
• 약한-* 프레임워크를 적용하여 반선형 및 양차 타원형 타원형 문제에 적용된 AFEM에 대한 일반 수렴 결과를 도출한다.
• 강한 수축에 기반한 두 번째 추상적 프레임워크를 도입하며, 이는 국소 수직성과 각 적응 단계에서의 오차 감소를 요구한다.
• 수축 프레임워크가 추상적 적응형 알고리즘에 적용될 조건을 수립하여 비선형 문제에 대한 수렴성을 보장한다.
• 두 프레임워크를 특정 PDE에 적용한다. 이는 비선형성이 초과비선형인 반선형 문제, 나비에-스토크스 방정식, 포isson-볼츠만 방정식, 해밀토니안 제약 방정식을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 비선형 타원형 PDE 클래스에 대해 선형 사례를 초월하여 적응형 유한요소법의 수렴성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 비선형 연산자에 대한 조건(예: Gateaux 도함수, inf-sup 조건)이 약한-* 수렴 프레임워크가 적응 알고리즘의 수렴성을 보장하는 데 어떤가?
• RQ3 선형 문제에 대한 수축 기반 수렴 이론을 국소 리프시츠 연산자를 갖는 비선형 문제로 확장할 수 있는가?
• RQ4 AFEM 수축을 위한 비선형 설정에서 필수적이고 충분한 구조적 성질(예: 국소 수직성, 국소 리프시츠 연속성)은 무엇인가?
• RQ5 제안된 프레임워크가 일반 상대성 이론에서의 해밀토니안 제약 조건과 같은 중요한 비선형 PDE에 대해 새로운 수렴성 및 수축 결과를 도출하는가?

주요 결과

• 약한-* 수렴 프레임워크는 국소 리프시츠 연산자의 Gateaux 도함수와 국소 inf-sup 조건을 갖는 광범위한 비선형 연산자 클래스로 선형 문제의 수렴 결과를 성공적으로 확장한다.
• 비선형성이 초과비선형인 반선형 문제, 정 steady 나비에-스토크스 방정식, 일반 양차 미분 문제에 대해 AFEM의 수렴성이 입증된다.
• 국소 수직성과 단계별 오차 감소 조건을 포함한 조건 하에서 추상적 비선형 적응형 알고리즘에 대해 수축 기반 프레임워크가 수립된다.
• 포isson-볼츠만 방정식과 일반 상대성 이론에서의 해밀토니안 제약 방정식에 대해 AFEM 수축이 입증되어 이러한 비선형 설정에서 새로운 수렴 결과를 제공한다.
• 이론은 이전 선형 수렴 결과를 개선하기 위해 인위적인 가정(예: 내부 노드 성질, 데이터 오scillation을 위한 추가 마킹)을 제거한다.
• 이론은 초기 메쉬 해상도나 추가 마킹 단계를 요구하지 않으며, 대신 사전에 $L^∞$ 유계성과 비선형성의 국소 리프시츠 제어를 기반으로 수렴성을 보장한다.