[논문 리뷰] Local correlation entropy

Vladimı́r Špitalský|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 08.

Neural dynamics and brain function인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 동역학 시스템에서 국소 상관 엔트로피를 조사하며, 위상적 그래프에서 국소 상관 엔트로피의 상한이 위상 엔트로피와 일치함을 증명한다. 또한 정상적 엔트로피가 양이지만 모든 점에서 국소 상관 엔트로피가 0인 엄밀히 에르고딕인 부분역동계를 구성하여, 특정 시스템에서 두 측도 사이에 근본적인 단절이 존재함을 보여준다.

ABSTRACT

Local correlation entropy, introduced by Takens in 1983, represents the exponential decay rate of the relative frequency of recurrences in the trajectory of a point, as the embedding dimension grows to infinity. In this paper we study relationship between the supremum of local correlation entropies and the topological entropy. For dynamical systems on graphs we prove that the two quantities coincide. Moreover, there is an uncountable set of points with local correlation entropy arbitrarily close to the topological entropy. On the other hand, we construct a strictly ergodic subshift with positive topological entropy having all local correlation entropies equal to zero. As a necessary tool, we derive an expected relationship between the local correlation entropies of a system and those of its iterates.

연구 동기 및 목표

• 동역학 시스템에서 국소 상관 엔트로피와 위상 엔트로피의 관계를 규명하는 것.
• 위상적 그래프 위의 시스템에서 국소 상관 엔트로피의 상한이 위상 엔트로피와 일치하는지 조사하는 것.
• 양의 위상 엔트로피가 국소 상관 엔트로피가 양이 아님을 보여주는 반례를 구성하는 것.
• 시스템 사상의 반복에 따른 국소 상관 엔트로피의 스케일링 행동을 유도하고 증명하는 것.

제안 방법

• 국소 상관 엔트로피를 임bedding 차원이 증가함에 따라 궤적 세그먼트에서 복귀 빈도의 지수 감쇠율로 정의한다.
• 상관 합 $ C^f_m(x, n, \varepsilon) $ 와 그 상한/하한을 이용해 상한 및 하한 국소 상관 엔트로피를 정의한다.
• 조합론적 보조정리를 적용하여 $ f $ 의 상관 합과 그 반복 $ f^k $ 의 상관 합을 연결함으로써 $ \bar{h}_{\text{cor}}(f^k, x) = k \cdot \bar{h}_{\text{cor}}(f, x) $ 를 증명한다.
• 매개변수 $ p \geq 3 $ 를 사용한 재귀적 단어 연결을 통해 엄밀히 에르고딕인 부분역동계를 구성한다. $ m_j, l_j, r_j $ 를 정의하여 단어 빈도를 제어한다.
• 허용 가능한 단어의 성장률을 제한함으로써 $ h_{\text{top}}(\sigma) = \lim_{j \to \infty} \lambda_j > 0 $ 를 증명한다.
• 유일한 불변 측도 $ \mu $ 가 $ \tilde{\mu}(n) \geq c / n^\alpha $ 를 만족함을 보이고, 이로부터 $ \lim_n (-1/n) \log \tilde{\mu}(n) = 0 $ 이므로 $ h_{\text{cor}}(\sigma, \mu) = 0 $ 이 됨을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위상적 그래프 위의 동역학 시스템에서 국소 상관 엔트로피의 상한이 위상 엔트로피와 일치하는가?
• RQ2 엄밀히 에르고딕인 시스템이 양의 위상 엔트로피를 가질 수 있지만 모든 점에서 국소 상관 엔트로피가 0일 수 있는가?
• RQ3 시스템 사상의 반복에 따라 국소 상관 엔트로피는 어떻게 스케일링되는가?
• RQ4 기호 역동계에서 단어 수의 증가율과 그로 인한 위상 엔트로피 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 위상적 그래프 위의 동역학 시스템에서 국소 상관 엔트로피의 상한은 위상 엔트로피와 일치한다.
• 국소 상관 엔트로피가 위상 엔트로피에 임의로 가까운 점들의 비가산 집합이 존재한다.
• 양의 위상 엔트로피를 가지지만 모든 국소 상관 엔트로피가 정확히 0인 엄밀히 에르고딕인 부분역동계를 구성하였다.
• 구성된 부분역동계의 위상 엔트로피는 $ h_{\text{top}}(\sigma) = \lim_{j \to \infty} \lambda_j > 0 $ 이며, $ \lambda_j = \log m_j / l_j $ 이고, $ m_j, l_j $ 는 재귀적으로 정의된다.
• 유일한 불변 측도의 상관 엔트로피는 0이다. $ \lim_{n \to \infty} (-1/n) \log \tilde{\mu}(n) = 0 $ 이므로 $ h_{\text{cor}}(\sigma, \mu) = 0 $ 이다.
• 이 부분역동계의 모든 점에서 국소 상관 엔트로피는 0이므로, 국소 상관 엔트로피가 이 경우에서 양의 위상 엔트로피를 감지하지 못한다는 것이 확인되었다.