[논문 리뷰] Local Entropy Theory of a Random Dynamical System

A. H. Dooley, Guohua Zhang|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 01.

Mathematical Dynamics and Fractals인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 무한 가산 이산 아메니타블 그룹 위에서 연속 번들 랜덤 동역학계에 대해 국소 엔트로피 이론을 확장하며, 국소 섬유 위상 압력과 측도론적 엔트로피를 연결하는 변분 원리를 도입한다. 주요 기여는 랜덤 동역학계에서 엔트로피 튜플과 변분 원리에 대한 엄밀한 프레임워크를 제공하는 것으로, 기존의 위상 동역학과 전역 엔트로피 이론의 결과를 일반화하고 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we extend the notion of a continuous bundle random dynamical system to the setting where the action of $\R$ or $\N$ is replaced by the action of an infinite countable discrete amenable group. Given such a system, and a monotone sub-additive invariant family of random continuous functions, we introduce the concept of local fiber topological pressure and establish an associated variational principle, relating it to measure-theoretic entropy. We also discuss some variants of this variational principle. We introduce both topological and measure-theoretic entropy tuples for continuous bundle random dynamical systems, and apply our variational principles to obtain a relationship between these of entropy tuples. Finally, we give applications of these results to general topological dynamical systems, recovering and extending many recent results in local entropy theory.

연구 동기 및 목표

• 무한 가산 이산 아메니타블 그룹 위에서 연속 번들 랜덤 동역학계에 대한 국소 엔트로피 이론을 개발한다.
• 랜덤 동역학계에서의 위상 압력 개념을 섬유 기반 설정으로 일반화한다.
• 국소 섬유 위상 압력과 측도론적 엔트로피를 연결하는 변분 원리를 수립한다.
• 랜덤 동역학계의 맥락에서 엔트로피 튜플을 정의하고 분석하며, 이를 위상적 및 측도론적 불변량과 연관시킨다.
• 제안된 프레임워크를 통해 최근의 국소 엔트로피 이론에 대한 결과들을 복원하고 확장한다.

제안 방법

• 연속 번들 랜덤 동역학계의 기저 공간 위에서 단조 감소하는 하위가환 불변 함수의 가족을 도입한다.
• 아메니타블 그룹 작용에 적합한 랜덤 개방 커버와 인코어드/좋은 커버를 사용하여 국소 섬유 위상 압력을 정의한다.
• 아메니타블 그룹에 대해 타일링 Følner 수열을 통해 변분 원리를 수립하여 측도론적 엔트로피의 상한과 국소 위상 압력을 연결한다.
• 스키우-프로덕트 변환과 섬유 기반 동역학의 프레임워크를 활용하여 랜덤 동역학계를 위상 동역학계와 연관시킨다.
• 기본 측도의 지지와 섬유 프로덕트 구조를 활용하여 연속 번들 랜덤 동역학계에 대한 엔트로피 튜플을 정의하고 분석한다.
• 위상 동역학계와 특정한 연속 번들 랜덤 동역학계 사이의 동치성을 활용하여 결과를 이전한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아메니타블 그룹 위에서 랜덤 동역학계의 맥락에서 국소 섬유 위상 압력을 어떻게 정의하고 특성화할 수 있는가?
• RQ2 이 랜덤 설정에서 국소 섬유 위상 압력과 측도론적 엔트로피 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 랜덤 동역학계에서의 엔트로피 튜플은 위상적 및 측도론적 불변량과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 타일링 Følner 수열을 갖는 시스템으로 국소 압력에 대한 변분 원리를 확장할 수 있는가?
• RQ5 제안된 랜덤 동역학계 프레임워크를 통해 위상 동역학의 결과들이 얼마나 널리 복원되고 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 국소 섬유 위상 압력에 대한 변분 원리가 수립되었으며, 위상 압력은 모든 불변 측도에 대한 측도론적 엔트로피의 상한과 일치한다.
• 연속 번들 랜덤 동역학계에 대한 엔트로피 튜플이 정의되었으며, 이는 해당 조건부 엔트로피가 양일 때에만 비어 있지 않음을 보였다.
• 엔트로피 튜플의 집합은 불변 측도의 지지의 곱에 포함되며, 특정 조건 하에서는 등호가 성립한다.
• 위상 동역학계 사이의 팩터 사상에 대해, 시스템의 엔트로피 튜플은 측도의 푸시포워드를 통해 섬유 기반 엔트로피 튜플과 관련된다.
• 이 프레임워크는 [51]과 [38]의 핵심 결과를 복원하고 확장하였으며, 위상 동역학계에 대한 국소 변분 원리도 포함한다.
• 엔트로피 튜플을 실현하는 측도의 존재가 보장된다: Eₙ(Y₁,G|π) = Eₙ^(μ)(Y₁,G|π) = _{πμ}Eₙ^(r)(ℰ_π,G) 를 만족하는 μ ∈ ℙ(Y₁,G) 가 존재한다.