[논문 리뷰] Local Euler Obstruction and Chern-Mather classes of Determinantal Varieties

Xiping Zhang|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 07.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 7인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 교차 이론을 통해 그라스만만다이어그램 위에서 임의의 대수적으로 닫힌 체 위에서 결정성 다변량 $\tau_{m,n,k}$ 의 국소 오일러 불항성과 케르른-마이터 클래스를 계산한다. 특성 사이클이 기하학적으로 기약임을 입증하기 위해 유니버설 배럴의 켈란 클래스를 통해 명시적 공식을 유도하고, 매클로이2 예제를 통해 이를 검증함으로써 이전의 복소기하학적 결과를 임의의 체로 일반화한다.

ABSTRACT

For $m\geq n$, Let $K$ be an algebraic closed base field, and define $τ_{m,n,k}$ to be the set of $m imes n$ matrices over $K$ with kernel dimension $\geq k$. This is a projective subvariety of $\mathbb{P}^{mn-1}$, and is usually called determinantal variety. In most cases $τ_{m,n,k}$ is singular with singular locus $τ_{m,n,k+1}$. In this paper we compute the local Euler obstruction of $τ_{m,n,k}$, and we prove that the characteristic cycle of the intersection cohomology complex of $τ_{m,n,k}$ is irreducible. We also give an explicit formula for the Chern-Mather class of $τ_{m,n,k}$ as a class in projective space. The irreducibility of the intersection cohomology characteristic cycle follows from the explicit computation of the local Euler obstruction, a study of the `Tjurina transforms' of determinantal varieties, and the Kashiwara-Dubson's microlocal index theorem. Our explicit formulas are based on calculations of degrees of certain Chern classes of the universal bundles over the Grassmannian. We use The Schubert 2 package in Macaulay2 to exhibit examples of the Chern-Mather class and the class of the characteristic cycle of $τ_{m,n,k}$ for some small values of $m,n,k$. Over the complex numbers, the local Euler obstruction of $τ_{m,n,k}$ was recently computed by N.~Grulha, T.~Gaffney and M.~Ruas by methods in complex geometry.

연구 동기 및 목표

• 임의의 대수적으로 닫힌 체 위에서 결정성 다변량 $\tau_{m,n,k}$ 의 국소 오일러 불항성을 이전의 복소기하학적 결과를 일반화하여 계산하는 것.
• $\tau_{m,n,k}$ 의 켈란-마이터 클래스를 프로젝티브 공간 내의 클래스로 명시적으로 공식화하는 것.
• 국소 오일러 불항성을 미세지역 기법과 가시와라-두브손 지수 정리에 기반하여 $\tau_{m,n,k}$ 에서의 교차 호모로지 층의 특성 사이클이 기하학적으로 기하학적임을 증명하는 것.
• 국소 오일러 불항성에 대한 재귀 공식을 수립하여 이가 이항계수를 통해 파스칼의 삼각형과 유사한 성질을 만족함을 보이는 것.
• 작은 $m,n,k$ 에 대해 매클로이2를 사용하여 계산적 검증을 제공하고, 켈란-마이터 클래스와 프로젝티브 쌍대 사이클을 제시하는 것.

제안 방법

• 국소 오일러 불항성을 유니버설 배럴의 역 켈란 클래스의 적분으로 표현하기 위해 그라스만만다이어그램의 곱 $G(k,k+i) \times G(i,m-n+k+i)$ 위에서 교차 이론 계산을 수행한다.
• 국소 오일러 불항성을 교차 호모로지 층의 특성 사이클과 연결하기 위해 가시와라-두브손 미세지역 지수 정리를 적용한다.
• 결정성 다변량의 투르이나 변환을 사용하여 특이점 집합과 분할의 행동을 분석한다.
• 그라스만만다이어그램 위에서 유니버설 부분다발 및 몫다발의 켈란 클래스의 차수 계산을 통해 켈란-마이터 클래스를 도출한다.
• 측도 사이클을 $h_1, h_2$ 와 계수 $\beta_l$ 를 포함하는 공식을 사용하여 $\mathbb{P}^{N} \times \mathbb{P}^{N}$ 에서의 클래스로 변환한다.
• 작은 $m,n,k$ 에 대해 매클로이2와 Schubert2 패키지를 사용하여 켈란-마이터 클래스와 프로젝티브 쌍대 사이클의 명시적 예제를 계산하고 표시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 대수적으로 닫힌 체 위에서 랭크 $k+i$ 인 점에서 결정성 다변량 $\tau_{m,n,k}$ 의 국소 오일러 불항성은 무엇인가?
• RQ2 $\tau_{m,n,k}$ 의 켈란-마이터 클래스는 $\mathbb{P}^{mn-1}$ 에서의 클래스로 어떻게 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 $\tau_{m,n,k}$ 에서의 교차 호모로지 층의 특성 사이클은 기하학적으로 기하학적인가? 기하학적 구조는 어떠한가?
• RQ4 $\tau_{m,n,k}$ 의 국소 오일러 불항성은 파스칼의 삼각형과 유사한 재귀 공식을 만족하는가? 만약 그렇다면 어떤 체 위에서 성립하는가?
• RQ5 $\tau_{m,n,k}$ 의 쌍대 사이클은 그 켈란-마이터 클래스로부터 재구성 가능한가? 그리고 투영 극점 클래스는 이러한 재구성과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• $\tau_{m,n,k}$ 의 국소 오일러 불항성은 임의의 대수적으로 닫힌 체 위에서 임의의 점 $\varphi \in \tau_{m,n,k+i} \setminus \tau_{m,n,k+i+1}$ 에서 $\binom{k+i}{i}$ 로 주어지며, 이는 모든 체에서 유효하다.
• $k = 0,1,\dots,n-2$ 에 대해 재귀 공식 $Eu_{m,n,k} + Eu_{m,n,k+1} = Eu_{m+1,n+1,k+1}$ 이 성립하며, 이는 복소수의 경우를 일반화하여 임의의 체로 확장된다.
• 국소 오일러 불항성이 미세지역 지수 이론을 통해 증명됨에 따라, 교차 호모로지 층의 특성 사이클은 기하학적으로 기하학적이며, 이는 $\tau_{m,n,k}$ 의 쌍대 사이클과 일치한다.
• $\tau_{m,n,k}$ 의 켈란-마이터 클래스는 그라스만만다이어그램 위에서 유니버설 배럴의 켈란 클래스를 사용하여 합 $\sum_{l=0}^{N} \beta_l [\mathbb{P}^l]$ 으로 명시적으로 계산된다.
• 프로젝티브 쌍대 사이클은 $h_1, h_2$ 와 계수 $\beta_l$ 를 포함하는 공식을 통해 재구성되며, $\tau_{4,4,s}$ 와 $\tau_{5,4,s}$ 에 대해 매클로이2로 명시적 예제가 계산되었다.
• $\tau_{m,n,k}$ 의 $l$-번째 극점 클래스는 이항계수와 코드미너션 이동을 사용하여 켈란-마이터 성분의 선형 조합으로 표현된다.