[논문 리뷰] Local exact controllability for the 2 and 3-d compressible Navier-Stokes equations

Sylvain Ervedoza, Olivier Glass외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 21.

Stability and Controllability of Differential Equations인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 경계 제어를 통해 2차원 및 3차원 압축성 라우아르-스토크스 방정식의 일정한 밀도-속도 상태로 국소 정확한 제어 가능성을 확립한다. 음수 소볼레프 공간에서 카르레만 추정을 이용한 선형화된 수반 시스템의 관측 가능성 분석과 부드러운 궤적의 구축을 통해, 시간 영역이 평균 속도 방향으로 도메인을 가로질러 전파되는 특성적 이동 시간을 초과할 경우, 초기 소규모 편차가 유한한 시간 내에 목표 상태로 되돌아올 수 있음을 증명한다.

ABSTRACT

The goal of this article is to present a local exact controllability result for the 2 and 3-dimensional compressible Navier-Stokes equations on a constant target trajectory when the controls act on the whole boundary. Our study is then based on the observability of the adjoint system of some linearized version of the system, which is analyzed thanks to a subsystem for which the coupling terms are somewhat weaker. In this step, we strongly use Carleman estimates in negative Sobolev spaces.

연구 동기 및 목표

• 압축성 라우아르-스토크스 방정식의 2차원 및 3차원에서 일정한 목표 궤적으로의 국소 정확한 제어 가능성을 확립하기 위해.
• 목표 상태의 속도가 0이 아닐 경우 발생하는 운반 효과로 인해 제어 가능한 시간 영역가 제한됨을 고려하여, 이러한 문제에 대응하기 위해.
• 선형화된 방정식의 수반 시스템의 관측 가능성에 기반한 프레임워크를 개발하고, 음수 소볼레프 공간에서의 카르레만 추정을 활용하기 위해.
• 유동의 존재성과 정(regularity)을 보장하기 위해 제어 궤적이 $L^2(0,T;H^3(Ω)) \cap C^0([0,T];H^2(Ω))$에 속하도록 보장하기 위해.
• 일차원 결과를 비-zero 평균 속도를 가진 다차원 설정으로 확장하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 평균 속도 $\overline{u} \neq 0$를 가진 일정한 상태 $(\overline{\rho}, \overline{u})$를 중심으로 압축성 라우아르-스토크스 시스템을 선형화한다.
• 선형화된 방정식의 수반 시스템의 관측 가능성을 음수 소볼레프 공간에서의 카르레만 추정을 이용해 분석하여 관측 가능성 부등식을 유도한다.
• 이 방법은 카르레만 추정에서 평균 속도 $\overline{u}$와 함께 이동하는 가중치 함수를 구성하는 것을 포함하며, 이는 이전의 연관된 편미분-초월 시스템에 대한 기법을 응용한 것이다.
• 핵심 단계는 유동 맵 $Z_{\check{u}}(t,x)$를 통한 변수 변환을 이용해 운반 효과와 확산 효과가 분리된 형태로 방정식을 변형하는 것이다.
• 비선형성은 변환된 시스템에서의 비선형 보정 항 $f_{\rho}(\rho,u)$ 및 $f_u(\rho,u)$로 정의되며, 이는 고정점 원리의 적용을 가능하게 한다.
• 유동장이 잘 정의되고 연속적이기 위해 필요한 정(regularity)을 확보하기 위해, 유속장이 $L^2(0,T;H^3(\Omega))$에 속하도록 이중성과 음수 소볼레프 공간에서의 관측 가능성 추정을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계 제어를 통해 2차원 및 3차원 압축성 라우아르-스토크스 방정식이 비영인 속도를 가진 일정한 상태로 국소 정확하게 제어 가능할 수 있는가?
• RQ2 그러한 제어 가능성을 위한 최소 시간은 얼마이며, 배경 흐름의 운반 속도와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 음수 소볼레프 공간에서의 관측 가능성 추정은 연관된 편미분-초월 동역학을 가진 시스템을 어떻게 제어하는 데 사용할 수 있는가?
• RQ4 도메인의 기하학적 구조와 평균 속도의 방향이 제어 가능성 시간 조건에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 유동 맵의 존재성과 정(regularity)을 보장하기 위해 $L^2(0,T;H^3(\Omega))$에서 부드러운 궤적을 어떻게 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 2차원 및 3차원 압축성 라우아르-스토크스 방정식이 평균 속도 $\overline{u} \neq 0$를 가진 일정한 상태 $(\overline{\rho}, \overline{u})$로 국소 정확하게 제어 가능하며, 이는 시간 영역 $T$ 가 $L_0 / |\overline{u}|$를 초과할 경우에 성립한다. 여기서 $L_0$는 $\overline{u}$ 방향으로 도메인의 두께이다.
• 초기 자료 $(\rho_0, u_0)$가 $H^2(\Omega) \times H^2(\Omega)$에 속하고 노름 $\delta > 0$ 가 충분히 작을 경우, 국소 제어 가능성이 보장된다.
• 제어된 해 $(\rho_{\mathcal{S}}, u_{\mathcal{S}})$ 는 $C([0,T];H^2(\Omega)) \times (L^2(0,T;H^3(\Omega)) \cap C^0([0,T];H^2(\Omega)))$ 에 속하여, 흐름이 잘 정의되기 위한 충분한 정(regularity)을 확보한다.
• 증명은 평균 속도 $\overline{u}$와 함께 이동하는 가중치 함수를 가진 카르레만 추정에 기반하며, 이는 선형화된 방정식의 수반 시스템에 적용되어 관측 가능성 부등식을 도출한다.
• 비선형 항 $f_{\rho}$ 및 $f_u$ 는 유동 맵을 통한 변수 변환을 고려해 명시적으로 구성되었으며, 이는 제어 프레임워크 내에서 고정점 원리의 적용을 가능하게 한다.
• 이 방법은 이전의 일차원 결과를 다차원 설정으로 확장하며, 밀도 방정식에서의 정보 전파의 유한한 속도를 고려하여 시간 영역를 조정함으로써 운반 제한을 극복한다.