[논문 리뷰] Local Exact Controllability of a Parabolic System of Chemotaxis

Bao‐Zhu Guo, Liang Zhang|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 19.

Mathematical Biology Tumor Growth참고 문헌 25인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 부분영역에 있는 단일 제어력에 의해 편미분 방정식으로 기술되는 화학성향성 시스템의 궤적에 대한 국소 정확한 제어 가능성을 확립한다. 카쿠타니 고정점 정리와 선형화된 시스템의 영 제어 가능성을 결합하고, 최대 정규성과 $L^p$-$L^q$ 추정을 활용하여, 초기 데이터가 작을 조건 하에서 $L^∞(Q)$ 내의 제어가 존재함을 증명한다. 이 제어는 종료 시점에 해를 영으로 이끈다.

ABSTRACT

This paper studies the controllability problem of a parabolic system of chemotaxis. The local exact controllability to trajectories of the system imposed one control force only is obtained by applying Kakutani's fixed point theorem combined with the null controllability of the associated linearized parabolic system. The control function is shown to be in $L^\infty(Q)$, which is estimated by using the methods of maximal regularity and $L^p$-$L^q$ estimates of parabolic equations.

연구 동기 및 목표

• 부분영역에 작용하는 단일 제어력에 의한 포물형 화학성향성 시스템의 국소 정확한 제어 가능성을 확립한다.
• 세포 집합을 화학성향성으로 모델링하는 비선형이고 결합된 포물형 편미분방정식 시스템을 제어하는 데 도전하는 문제를 다룬다.
• 작은 초기 데이터 조건 하에서 $L^∞(Q)$ 내의 제어가 존재하여 시스템을 종료 시점에 영으로 이끌 수 있음을 증명한다.
• 비선형이고 비국소적인 결합, 그리고 뉴먼 경계 조건을 갖는 화학성향성 모델로 제어 가능성 결과를 확장한다.

제안 방법

• 선형화된 시스템의 해 매핑으로부터 구성된 비선형 연산자에 대해 카쿠타니 고정점 정리를 적용한다.
• 카르레만 부등식과 최대 정규성 추정을 이용하여 선형화된 시스템의 영 제어 가능성을 확립한다.
• 포물형 방정식에 대한 $L^p$-$L^q$ 추정을 활용하여 $L^∞(Q)$ 내의 제어 함수를 유계화한다.
• 소볼레프 포함과 정규성 이론을 활용하여 해와 그 기울기가 유계로 유지됨을 보장한다.
• $L^∞(Q)$ 내에 닫힘, 볼록성, 컴act성을 갖는 집합 $K$를 구성하여 카쿠타니 정리의 조건을 만족시킨다.
• 해 연산자가 $K$ 위에서 상부 연속성과 불변성을 갖는 것을 증명하여 고정점의 존재를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부분영역에 존재하는 단일 제어력이 포물형 화학성향성 시스템에 대한 국소 정확한 제어 가능성을 달성할 수 있는가?
• RQ2 어떤 초기 데이터 조건이 $L^∞(Q)$ 내의 제어가 존재하여 시스템을 종료 시점에 영으로 이끄는가?
• RQ3 세포 밀도와 화학 농도 사이의 비선형 결합을 제어 가능성 프레임워크에서 어떻게 다룰 수 있는가?
• RQ4 $L^p$-$L^q$ 추정과 최대 정규성이 제어 함수 유계화에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 제어된 화학성향성 시스템의 해 연산자는 적절한 집합 위에서 상부 연속성과 불변성을 갖는가?

주요 결과

• 초기 데이터가 $\|u_0\|_{\infty} + \|v_0\|_{W^{2(1-1/p),p}(\Omega)} \leq \delta$ 를 만족하는 작은 $\delta > 0$ 일 때, 화학성향성 시스템에 대해 궤적에 대한 국소 정확한 제어 가능성이 확보된다.
• 제어 함수 $f$ 는 $L^\infty(Q)$ 에 속하며, $L^p$-$L^q$ 추정과 최대 정규성 기법을 통해 그 노름이 추정된다.
• 선형화된 시스템의 해 $y$ 는 $\|y\|_{\infty} \leq e^{c_1 \kappa_0}(\|y_0\|_{\infty} + \|z_0\|_{W^{2(1-1/p),p}(\Omega)})$ 를 만족하여 작은 데이터 조건 하에서 해의 유계성을 보장한다.
• 해 연산자는 상부 연속적이며, 볼록이고 컴팩트한 집합 $K$ 를 스스로에 내포하므로 카쿠타니 고정점 정리의 조건을 만족한다.
• 고정점의 존재는 상태 $(u,v)$ 가 시간 $T$ 에서 $Ω$ 에 거의 모든 곳에서 영이 되게 하는 제어 $f$ 의 존재를 의미한다.
• 증명은 $V^1(Q)$ 와 $V^2(Q)$ 내의 근사 수열 수렴에 기반하며, $L^2(Q)$ 에서 강한 수렴과 고차수 공간에서 약한 수렴을 보인다.