[논문 리뷰] Local existence and uniqueness of heat conductive compressible Navier-Stokes equations in the presence of vacuum and without initial compatibility conditions

Jinkai Li, Yasi Zheng|arXiv (Cornell University)|2021. 08. 24.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 40인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 3차원에서 열전도성 압축성 라우아지-누비에르-스토크스 방정식에 대한 강해의 국소적 존재성과 유일성을 확립한다. 진공을 允허하고 초기 조건의 호환성 조건을 요구하지 않는다. 저자들은 시간 가중 에너지 추정과 시간에 따라 특이적인 그론발라 유형 부등식을 조합한 새로운 이단계적 접근법을 제안하여, 정규성 부족과 호환성 제약 조건의 부재를 극복한다.

ABSTRACT

In this paper, we investigate the initial-boundary value problem to the heat conductive compressible Navier-Stokes equations. Local existence and uniqueness of strong solutions is established with any such initial data that the initial density $ρ_0$, velocity $u_0$, and temperature $θ_0$ satisfy $ρ_0\in W^{1,q}$, with $q\in(3,6)$, $u_0\in H^1$, and $\sqrt{ρ_0}θ_0\in L^2$. The initial density is assumed to be only nonnegative and thus the initial vacuum is allowed. In addition to the necessary regularity assumptions, we do not require any initial compatibility conditions such as those proposed in (Y. Cho and H. Kim, \emph{Existence results for viscous polytropic fluids with vacuum}, J. Differential Equations {\bf 228} (2006), no.~2, 377--411.), which although are widely used in many previous works but put some inconvenient constraints on the initial data. Due to the weaker regularities of the initial data and the absence of the initial compatibility conditions, leading to weaker regularities of the solutions compared with those in the previous works, the uniqueness of solutions obtained in the current paper does not follow from the arguments used in the existing literatures. Our proof of the uniqueness of solutions is based on the following new idea of two-stages argument: (i) showing that the difference of two solutions (or part of their components) with the same initial data is controlled by some power function of the time variable; (ii) carrying out some singular-in-time weighted energy differential inequalities fulfilling the structure of the Grönwall inequality. The existence is established in the Euler coordinates, while the uniqueness is proved in the Lagrangian coordinates first and then transformed back to the Euler coordinates.

연구 동기 및 목표

• 진공이 존재하는 상황에서 열전도성 압축성 라우아지-누비에르-스토크스 방정식에 대한 강해의 국소적 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• 이전 연구에서 요구하던 초기 조건의 호환성 조건이 필요 없도록 하는 것.
• 최소한의 정규성 조건을 가진 초기 자료: $\rho_0 \in W^{1,q}$ for $q \in (3,6)$, $u_0 \in H^1$, 및 $\sqrt{\rho_0}\theta_0 \in L^2$, $\rho_0 \geq 0$ (진공 允허).
• 호환성 가정 없이 낮은 정규성 해에 적합한 새로운 유일성 증명 전략을 개발하는 것.

제안 방법

• 표준 에너지 추정과 소볼레프 포함을 사용하여 유클리드 좌표계에서 존재성을 확립한다.
• 고정 도메인으로 변환된 시스템을 분석하여 라그랑주 좌표계에서 두 해의 차이를 분석함으로써 유일성을 증명한다.
• 이중단계 접근법을 도입: 첫째, 해의 차이를 시간의 거듭제곱으로 유계화; 둘째, 시간에 따라 특이적인 가중 에너지 부등식을 적용.
• 시간에 따라 특이적인 가중치를 가진 그론발라 유형 부등식을 사용하여 해의 차이의 증가를 제어한다.
• 라그랑주 좌표계에서 라우아지-누비에르-스토크스 방정식의 구조, 특히 자코비안과 속도 및 온도 장의 변환을 활용한다.
• 변형된 변형률 행렬의 수반행렬의 발산에 관한 핵심 보조정리를 적용하여 변환된 시스템에서 구조적 항등식을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 진공이 존재하고 초기 호환성 조건이 없는 압축성 라우아지-누비에르-스토크스 방정식에 대해 국소 강해가 존재할 수 있는가?
• RQ2 이전 연구에서 가정한 정규성과 호환성 조건이 부족한 해의 경우, 유일성은 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ3 최소한의 정규성 가정 하에서 해의 차이를 제어하기 위해 어떤 새로운 분석 기법이 필요한가?
• RQ4 시간에 따라 특이적인 가중치를 가진 이중단계 에너지 추정 전략이 유일성 증명에서 표준 그론발라 추론을 대체할 수 있는가?
• RQ5 라그랑주 좌표계로의 변환은 약한 가정 하에서 유일성 증명을 어떻게 촉진하는가?

주요 결과

• 초기 자료 $\rho_0 \in W^{1,q}$, $q \in (3,6)$, $u_0 \in H^1$, 및 $\sqrt{\rho_0}\theta_0 \in L^2$ 에 대해 강해의 국소 존재성이 확립되었으며, 초기 호환성 조건을 요구하지 않는다.
• 이전 연구에서 사용된 표준 호환성 조건(예: Cho와 Kim (2006))을 가정하지 않고도 해의 유일성이 증명되었다.
• 동일한 초기 자료를 가진 두 해의 차이는 주어진 정규성 가정 하에서 시간의 거듭제곱으로 유계화되어 있으며, 구체적으로 $O(|t - t_0|^{3/4})$ 로 표현된다.
• 유일성 증명은 새로운 이중단계 접근법에 의존한다: 첫째, 시간의 거듭제곱을 통한 해의 차이에 대한 국소적 제어; 둘째, 그론발라 부등식과 유사한 시간에 따라 특이적인 가중 에너지 부등식의 적용.
• 라그랑주 좌표계로의 변환은 유일성 증명에 필수적이며, 이후 유클리드 좌표계로의 역변환이 이어진다.
• 핵심적인 구조적 보조정리가 증명되었으며, 변형률 행렬의 수반행렬의 발산이 0이 되며, 이는 라그랑주 형태의 시스템에서 구조적 항등식을 유지하는 데 핵심적이다.