[논문 리뷰] Local existence and uniqueness of strong solutions to the Navier-Stokes equations with nonnegative density

Jinkai Li|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 05.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 이전 연구들보다 더 약한 정규성 조건 하에서, 초기 밀도가 음이 아닌(진공 포함) 3차원 비압축성 나비에-스토크스 방정식에 대해 강해(solution)의 국소 존재성과 유일성을 확립한다. 기존 연구에서 요구하던 호환 조건(Compatibility condition)이 필요 없어지고, 초기 속도의 정규성 요구 조건도 $ H^2 $에서 $ H^1 $으로 감소되며, 초기 시점에서 운동량의 연속성에 기반한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the initial-boundary value problem to the nonhomogeneous incompressible Navier-Stokes equations. Local strong solutions are established, for any initial data $(ρ_0, u_0)\in (W^{1,γ} \cap L^\infty) imes H_{0,σ}^1$, with $γ>1$, and if $γ\geq2$, then the strong solution is unique. The initial density is allowed to be nonnegative, and in particular, the initial vacuum is allowed. The assumption on the initial data is weaker than the previous widely used one that $(ρ_0, u_0)\in (H^1 \cap L^\infty ) imes(H_{0,σ}^1 \cap H^2)$, and no compatibility condition is required.

연구 동기 및 목표

• 비균질 비압축성 나비에-스토크스 방정식에 대해 초기 밀도가 0일 수 있는 경우(진공 포함)에 국소 강해를 확립하는 것.
• 특히 호환 조건이 필요 없도록 표준 초기 자료에 대한 가정을 약화시키는 것.
• 유일성을 유지하면서 초기 속도의 정규성 요구 조건을 $ H^2 \cap H^1_0 $에서 $ H^1_0 $으로 감소시키는 것.
• 초기 시점에서 속도 $ u $ 자체의 연속성 대신 운동량 $ \rho u $의 연속성이 충분함을 보이는 것.

제안 방법

• 정규화된 초기 자료를 사용한 갈레르킨 근사 방법을 통해 근사해 $ (\rho_n, u_n) $를 구성한다.
• 에너지 추정과 $ L^p $ 유형 부등식을 사용하여 $ \rho u $, $ \nabla u $, 및 $ \rho $ 의 진화를 통제한다.
• 두 해의 차이를 통제하고 유일성을 증명하기 위해 그론발라-유형 부등식을 적용한다.
• 진공에서 속도가 불연속일 수 있으므로, 초기 조건으로 $ u $ 가 아니라 $ \rho u $ 의 연속성을 사용한다.
• 비선형 항을 운동량 및 밀도 방정식에서 통제하기 위해 소볼레프, 파이카르, 호더 부등식을 활용한다.
• 근사 수열에 대한 극한 추론을 통해 $ \rho u $ 가 $ t=0 $ 에서 $ L^2 $ 연속임을 증명함으로써, 초기 조건이 운동량 의미에서 성립함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비균질 나비에-스토크스 방정식에 대해 초기 진공이 있는 경우, 더 약한 정규성 조건 하에서도 강해가 존재할 수 있는가?
• RQ2 유일성을 유지하면서도 이전 연구에서 요구하던 호환 조건 $ \Delta u_0 - \nabla p_0 = \sqrt{\rho_0} g $ 를 제거할 수 있는가?
• RQ3 유일성을 잃지 않고 초기 속도의 정규성 요구 조건을 $ H^2 \cap H^1_0 $ 에서 $ H^1_0 $ 으로 낮출 수 있는가?
• RQ4 진공에서 $ u $ 가 불연속일 수 있을 때, 초기 시점에서 운동량 $ \rho u $ 의 연속성이 초기 조건으로 충분한가?
• RQ5 호환 조건 없이 $ \gamma \geq 2 $ 인 경우에만 $ (\rho_0, u_0) \in (W^{1,\gamma} \cap L^\infty) \times H^1_{0,\sigma} $ 이면 유일성을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 초기 자료 $ (\rho_0, u_0) \in (W^{1,\gamma} \cap L^\infty) \times H^1_{0,\sigma} $ 이고 $ \gamma > 1 $ 인 경우, 초기 진공을 允許하는 국소 강해가 존재한다.
• 같은 초기 자료 정규성 조건 하에서 $ \gamma \geq 2 $ 일 때 유일성이 확립된다.
• 이전 연구에서 요구하던 호환 조건은 완전히 제거된다.
• 초기 조건은 $ u $ 가 아니라 $ \rho u $ 에 적용되며, 근사 수열을 통한 극한 추론을 통해 $ t=0 $ 에서 $ \rho u $ 의 연속성이 증명된다.
• 초기 속도의 정규성 요구 조건은 $ H^2 \cap H^1_0 $ 에서 $ H^1_0 $ 으로 감소되었고, 유일성은 유지된다.
• 해는 $ \rho u \in C([0,T]; L^2) $ 와 $ \sqrt{t} u, \sqrt{t} \partial_t u \in L^\infty(0,T; H^2) \cap L^2(0,T; H^1) $ 를 만족하며, 이는 $ t=0 $ 근처에서 시간 정규성 향상을 시사한다.