[논문 리뷰] Local existence and WKB approximation of solutions to Schrödinger-Poisson system in the two-dimensional whole space

Satoshi Masaki|ArXiv.org|2009. 12. 08.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 중성 조건을 요구하지 않고 2차원 슈뢰딩거-포아송 시스템의 국소적 존재성과 WKB 근사법을 증명한다. 포아송 포텐셜의 로그 성장 특성을 다루기 위해 수정된 마델룽 변환을 사용한다. 주요 기여는 $ s>2 $ 인 $ H^s(\bbR^2) $ 초기 데이터를 가진 경우, 반도체 근사의 극한에서 WKB 점근적 해석을 엄밀히 정당화하는 것이다. 이는 포텐셜의 느린 공간적 성장에도 불구하고 성립한다.

ABSTRACT

We consider the Schrödinger-Poisson system in the two-dimensional whole space. A new formula of solutions to the Poisson equation is used. Although the potential term solving the Poisson equation may grow at the spatial infinity, we show the unique existence of a time-local solution for data in the Sobolev spaces by an analysis of a quantum hydrodynamical system via a modified Madelung transform. This method has been used to justify the WKB approximation of solutions to several classes of nonlinear Schrödinger equation in the semiclassical limit.

연구 동기 및 목표

• 중성 조건이 없을 때 2차원 슈뢰딩거-포아송 시스템의 잘 정의된 문제 결과가 부족한 점을 다스린다. 특히 배경이 0인 경우에 중점을 둔다.
• 무한대에서 로그적으로 성장하는 포텐셜을 가진 2차원 반도체 슈뢰딩거-포아송 시스템에서 WKB 근사법을 정당화한다.
• 비적분 가능성이 있는 포텐셜 항의 곤경을 해결하기 위해 마델룽 변환을 통해 수정된 양자 유체 역학적 공식을 도입한다.
• 포텐셜 $ P $ 가 $ |x|\to\infty $ 일 때 $ |P(x)| = O(\log|x|) $ 를 만족할 때조차도, $ H^s(\bbR^2) $에서 $ s>2 $ 인 소벨레프 공간에서 해의 시간 국소적 존재성을 확립한다.

제안 방법

• 2차원에서 포아송 방정식의 해를 위한 새로운 공식을 사용한다: $ P(x) = -\frac{1}{2\pi}\int_{\bbR^2} \log\left(\frac{|x-y|}{|y|}\right) |u(y)|^2 dy $, 이는 중성 조건이 필요 없도록 한다.
• 수정된 마델룽 변환을 적용하여 슈뢰딩거-포아송 시스템을 양자 유체 역학 시스템으로 재구성함으로써, 로그 포텐셜 성장의 통제를 가능하게 한다.
• 로그 성장에 적합한 함수 공간에서 고정점 정리를 사용하며, 가중 $ L^p $ 추정과 리프스 변환 추정을 활용한다.
• 하디-리틀우드-소볼레프 부등식과 가가르도-니레버그 보간을 사용하여 포텐셜 및 그 도함수의 점근적 행동을 분석한다.
• 반도체 근사에서 $ \varepsilon \to 0 $ 일 때 적절한 위상에서 WKB 안사 $ u^\varepsilon(t,x) = e^{i\phi^\varepsilon(t,x)/\varepsilon}(a_0 + \varepsilon a_1 + \cdots + \varepsilon^N a_N + o(\varepsilon^N)) $ 를 정당화한다.
• 조화함수 이론을 사용하여 $ \nabla P \in L^\infty $, $ \nabla P \to 0 $ as $ |x|\to\infty $, 그리고 $ P(0)=0 $ 조건 하에서 포아송 방정식의 해의 유일성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 중성 조건 $ \int (|u|^2 - b) dx = 0 $ 가 없을 때, 특히 $ b \equiv 0 $ 인 0배경 경우에 2차원 슈뢰딩거-포아송 시스템이 잘 정의된 문제인지 여쭙는다.
• RQ2 무한대에서 포텐셜이 로그적으로 성장하는 2차원 반도체 슈뢰딩거-포아송 시스템에서 WKB 근사법을 어떻게 정당화할 수 있는가?
• RQ3 무한대에서 적분 가능성이 요구되지 않는 소벨레프 공간에서 해의 국소적 존재성을 보장할 수 있는 $ \bbR^2 $ 에서의 포아송 포텐셜의 적절한 공식은 무엇인가?
• RQ4 수정된 마델룽 변환은 비선형 슈뢰딩거 방정식의 맥락에서 로그 성장을 가진 비선형 포텐셜 항을 제어하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 조건 $ \nabla P \in L^\infty $, $ \nabla P \to 0 $, 그리고 $ P(0)=0 $ 하에서 $ -\Delta P = |u|^2 $ 의 해 $ P $ 의 정칙성 및 감쇠 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 2차원에서 포아송 방정식 $ -\Delta P = |u|^2 $ 의 해는 중성 조건이 없더라도 잘 정의되며, $ P(x) = -\frac{1}{2\pi}\int_{\bbR^2} \log\left(\frac{|x-y|}{|y|}\right) |u(y)|^2 dy $ 로 유일하게 주어진다. 이는 $ |u|^2 \in L^{p_0}(\bbR^2) $ 이고 $ p_0 \in (1,2) $ 일 때 성립한다.
• 포텐셜 $ P $ 는 $ |x| \to \infty $ 일 때 $ |P(x)| = O(\|u\|_{L^2}^2 \log|x|) $ 를 만족하며, $ \nabla P \in L^\infty(\bbR^2) $ 이지만, 비자명한 $ u $ 에 대해서는 $ \nabla P \notin L^2(\bbR^2) $ 이다.
• 초기 데이터 $ u_0 \in H^s(\bbR^2) $ 이고 $ s > 2 $ 일 때, 슈뢰딩거-포아송 시스템은 $ C((-T,T); H^s(\bbR^2)) $ 에서 유일한 국소해를 가진다. 이는 포텐셜의 로그 성장에도 불구하고 성립한다.
• 반도체 근사에서 $ \varepsilon \to 0 $ 일 때, WKB 근사 $ u^\varepsilon(t,x) = e^{i\phi^\varepsilon(t,x)/\varepsilon}(a_0 + \varepsilon a_1 + \cdots + \varepsilon^N a_N + o(\varepsilon^N)) $ 는 적절한 위상에서 유효하며, 반도체 근사의 정당성을 뒷받침한다.
• 해 $ P $ 는 $ C^2(\bbR^2) $ 이며, 모든 $ p \in [p_0, \infty) $ 에 대해 $ \partial_j \partial_k P \in L^p(\bbR^2) $ 이고, $ r \in [q_0, \infty) $ 에 대해 $ \nabla P \in L^r(\bbR^2) $ 이며, 하올더 및 가가르도-니레버그 부등식을 통해 $ \nabla P \in L^\infty(\bbR^2) $ 가 성립한다.
• 조화함수 이론을 사용하여 $ \nabla P \in L^\infty $, 무한대에서 $ \nabla P \to 0 $, 그리고 $ P(0)=0 $ 조건 하에서 포아송 방정식의 해가 유일함을 증명한다. 이는 무한대에서 0으로 수렴하는 유계 조화함수는 항등적으로 0이기 때문이다.