[논문 리뷰] Local, Expressive, Quantum-Number-Preserving VQE Ansatze for Fermionic Systems

Gian-Luca Anselmetti, David Wierichs외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 12.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 54인용 수 94

한 줄 요약

이 논문은 페르미온 시스템에 대해 새로운 국소적이고 표현력 있는 변분 양자 고유값 해법(VQE) 앤사즈를 제안하며, 조르단-ไว너어 변환 하에서 입자 수 및 스핀 양자수—특히 α 및 β 전자의 수와 총 스핀 제곱값—를 정확히 유지한다. 앤사즈는 궤도 회전과 쌍 교환 게이트로 구성된 게이트 패턴을 사용하여 낮은 회로 깊이에서 양자 상태 표현의 보편성을 달성하며, 수치적 증거는 매개변수 수가 충분하고 잘 초기화된 경우 수렴성이 뛰어나며 폐쇄된 평탄한 골짜기(бар런 플레이터)를 피하는 것으로 나타났다.

ABSTRACT

We propose VQE circuit fabrics with advantageous properties for the simulation of strongly correlated ground and excited states of molecules and materials under the Jordan-Wigner mapping that can be implemented linearly locally and preserve all relevant quantum numbers: the number of spin up ($\alpha$) and down ($\beta$) electrons and the total spin squared. We demonstrate that our entangler circuits are expressive already at low depth and parameter count, appear to become universal, and may be trainable without having to cross regions of vanishing gradient, when the number of parameters becomes sufficiently large and when these parameters are suitably initialized. One particularly appealing construction achieves this with just orbital rotations and pair exchange gates. We derive optimal four-term parameter shift rules for and provide explicit decompositions of our quantum number preserving gates and perform numerical demonstrations on highly correlated molecules on up to 20 qubits.

연구 동기 및 목표

• 조르단-ไว너어 변환 하에서 페르미온 시스템에서 관련된 모든 양자수(α/β 전자 수와 총 스핀)를 보존하는 VQE 앤사즈를 개발한다.
• 선형 국소성, 낮은 게이트 수, NISQ 장치의 연결성과의 호환성을 갖는 게이트 패턴을 설계한다.
• 대칭을 보존하는 구조적 회로 설계를 통해 높은 표현력과 강건한 최적화 행동을 달성하고, 폐쇄된 평탄한 골짜기를 피한다.
• 다양한 양자수 불변 표현(irreps)에 걸쳐 수치적 보편성과 수렴 강건성을 입증한다. (특히 강한 상관성이 있는 분자 포함)

제안 방법

• 2-qubit SU(4) 게이트를 궤도 회전과 쌍 교환 연산으로 분해하여 교차하는 레이어로 이루어진 테셀레이션을 구성하는 게이트 패턴을 설계한다.
• 입자 및 스핀 대칭 연산자와 가환성을 유지하도록 단위 연산이 보장되는 양자수 보존(QNP) 게이트—특히 ˆQ형 및 ˆF형—를 구성한다.
• 기울기 계산을 위한 최적의 4항짜리 매개변수 이동 규칙을 유도하여 최적화 과정에서 노이즈 없는 해석적 기울기를 가능하게 한다.
• 해석적 기울기를 사용한 L-BFGS 최적화를 적용하여 헤어-랜덤 상태와 분자 시스템에서 수렴성과 보편성을 테스트한다.
• 정확한 대각화와 상태 허용도 지표를 사용하여 최대 20-qubit 시스템, 특히 강한 상관성이 있는 분자에 대해 앤사즈를 검증한다.
• 비보편적인 경계 케이스(예: 완전히 점유되거나 비어 있는 궤도 하위공간)를 체계적으로 식별하는 방법을 제안하고, 더 강건한 5매개변수 ˆF형 게이트를 보편적 대체 수단으로 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 입자 수와 스핀 양자수를 보존하면서도 낮은 회로 깊이와 국소적 연결성을 유지하는 VQE 앤사즈를 구성할 수 있는가?
• RQ2 강한 전자 상관성이 존재하는 상황에서도 다항식 깊이의 회로 내에서 보편적인 상태 준비를 달성할 수 있는가?
• RQ3 매개변수 수가 증가함에 따라 최적화 과정에서 폐쇄된 평탄한 골짜기를 피하고 기하학적 수렴을 보일 수 있는가?
• RQ4 특정 양자수 불변 표현(irreps)에서 앤사즈가 보편적이지 않은 경우가 있으며, 이러한 경우를 체계적으로 식별하고 완화할 수 있는가?
• RQ5 ˆQ형 QNP 게이트 패턴의 성능은 더 복잡한 ˆF형 패턴에 비해 보편성과 수렴성 측면에서 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• ˆQ형 QNP 게이트 패턴은 힐버트 공간 내 대부분의 양자수 불변 표현(irreps)에서 보편적인 상태 준비를 달성하며, 보편적인 경우의 수치적 허용도 오차가 10−13 이하로 낮다.
• 비보편성은 고스핀 제약 조건과 완전히 점유되거나 비어 있는 궤도 하위공간과 같은 경계 케이스에서만 발생하며, 예를 들어 M=4일 때 (Nα=0, Nβ=2, S=2)인 경우 오버랩 오차가 약 10−2에 이른다.
• 5매개변수 ˆF형 QNP 게이트 패턴은 모든 테스트된 불변 표현에서 비보편성 없이 수치적으로 보편적이며, 모든 테스트된 불변 표현에서 보편적이다.
• L-BFGS 최적화 하에서 앤사즈의 수렴은 보편성 임계점에서 명확한 단계 전이를 보이며, 충분한 매개변수를 가진 회로는 기계 에프리미트까지 강력한 기하학적 수렴을 보인다.
• 매개변수 수가 보편성 임계점을 초과하고 매개변수가 적절히 초기화된 경우 기울기 소멸 문제 없이 폐쇄된 평탄한 골짜기에서 강건한 수렴을 보인다.
• 궤도 회전과 쌍 교환 게이트로 구성된 제안된 게이트 패턴은 낮은 깊이(D=1에서 D=18)에서도 높은 표현력을 달성하며, 목표 상태와의 허용도가 1에 수렴한다.