[논문 리뷰] Local Hamiltonians with No Low-Energy Stabilizer States

Nolan J. Coble, Matthew Coudron외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 01. 01.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 단일 큐비트 클리포드 게이트를 사용한 회전을 통해 CSS 코드를 수정함으로써, 낮은 에너지 하위공간에 안정자 상태(클리포드 회로로 준비 가능한 상태)를 포함하지 않는 국소 해밀토니안의 가족을 구성한다. 핵심 기여는 '낮은 에너지 안정자 상태 없음'(NLCS) 해밀토니안을 체계적으로 생성하는 방법을 제공함으로써, 기존의 NLTS 구성법을 확장하고 동시에 안정자 상태와 자명한 상태를 피하는 길을 열어, 양자 PCP에의 길을 제시한다.

ABSTRACT

The recently-defined No Low-energy Sampleable States (NLSS) conjecture of Gharibian and Le Gall [GL22] posits the existence of a family of local Hamiltonians where all states of low-enough constant energy do not have succinct representations allowing perfect sampling access. States that can be prepared using only Clifford gates (i.e. stabilizer states) are an example of sampleable states, so the NLSS conjecture implies the existence of local Hamiltonians whose low-energy space contains no stabilizer states. We describe families that exhibit this requisite property via a simple alteration to local Hamiltonians corresponding to CSS codes. Our method can also be applied to the recent NLTS Hamiltonians of Anshu, Breuckmann, and Nirkhe [ABN22], resulting in a family of local Hamiltonians whose low-energy space contains neither stabilizer states nor trivial states. We hope that our techniques will eventually be helpful for constructing Hamiltonians which simultaneously satisfy NLSS and NLTS.

연구 동기 및 목표

• 표 mẫu 가능한 상태의 하위집합으로서 안정자 상태를 고려하여 '낮은 에너지 표 mẫu 가능한 상태'(NLSS) 추측을 다루기 위해.
• 낮은 에너지 하위공간에 모든 안정자 상태를 포함하지 않는 국소 해밀토니안을 구성함으로써 NLSS 추측을 강화하기 위해.
• 기존의 NLTS 구성법(예: ABN22에서의 것)을 확장하여 동시에 안정자 상태와 자명한 상태를 배제할 수 있도록 하기 위해.
• 임의의 CSS 해밀토니안을 일정 깊이의 회로로 회전시키면 NLTS 및 NLSS 조건을 모두 만족하는 해밀토니안이 얻어지는지 탐구하기 위해.
• 고전적으로 다룰 수 있는 낮은 에너지 상태를 피하는 방식으로, 궁극적으로 양자 PCP 추측을 만족할 수 있는 해밀토니안을 구성하는 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 각 큐비트에 대해 $ e^{-i\pi/8 Y} $ 단위행렬을 적용하여, CSS 코드와 관련된 국소 해밀토니안을 변형함으로써 안정자 구조를 변화시킴.
• 고전적 코드의 부호검사 행렬의 텐서곱을 사용하여 전역 안정자 생성자를 구성함으로써, 모든 행의 무게가 홀수임을 보장함.
• 양자 타너 코드의 성질과 LZ22에서 유래한 점점 더 좋은 양자 LDPC 코드의 성질을 활용하여, 결과 해밀토니안이 국소적이고 일정한 프라미스 갭을 가지도록 보장함.
• 안정자 생성자의 무게와 그 회전에 의한 변환을 분석함으로써, 변형된 해밀토니안이 일정한 에너지 임계값 이하의 안정자 상태를 포함하지 않음을 증명함.
• Anshu, Breuckmann, 및 Nirkhe(ABN22)의 NLTS 해밀토니안에 이 방법을 적용하여, 낮은 에너지 안정자 상태와 자명한 상태를 모두 포함하지 않는 새로운 가족을 도출함.
• 명시적 구성과 확률적 방법을 사용하여, 요구된 홀수 무게 조건을 만족하는 행렬의 존재를 보이며, 큰 부호 거리에서 NLCS 성질이 높은 확률로 유지됨을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 낮은 에너지 하위공간에 안정자 상태를 포함하지 않는 국소 해밀토니안을 구성할 수 있는가?
• RQ2 각 큐비트에 대해 $ e^{-i\pi/8 Y} $로 CSS 해밀토니안을 회전시키면, 낮은 에너지 안정자 상태를 포함하지 않는 해밀토니안이 얻어지는가?
• RQ3 ABN22의 NLTS 구성법을 수정하여 동시에 안정자 상태와 자명한 상태를 배제할 수 있는가?
• RQ4 NLCS 구성법을, 안정자 생성자의 무게가 모두 짝수인 경우에도 포함하는 일반적인 CSS 해밀토니안으로 확장할 수 있는가?
• RQ5 만약 P ≠ #P라면, 저깊이 회로로 회전시킨 0 해밀토니안으로부터 NLSS 해밀토니안을 얻을 수 있는가?

주요 결과

• 저자들은 $ e^{-i\pi/8 Y} $를 사용한 CSS 코드 기반 해밀토니안의 회전을 통해 낮은 에너지 안정자 상태가 없는 국소 해밀토니안의 명시적 가족을 구성하였으며, 이러한 시스템에서 NLCS 성질이 성립함을 증명함.
• 특정 단순한 해밀토니안 $ \tilde{H}_0 = \frac{1}{n} \sum_i (e^{i\pi/8 Y} |1\rangle\langle1| e^{-i\pi/8 Y})_i $에 대해, 클리포드 + 1 T 게이트 회로로 준비된 상태의 에너지에 날카운 하한을 증명함.
• 클리포드 + t개의 T 게이트로 준비된 상태의 에너지가 $ \tilde{H}_0 $ 하에서 $ t \leq n $일 때 날카운 하한을 갖는다고 추측함으로써, T 게이트 수가 증가할수록 에너지가 증가함을 시사함.
• 이 방법은 ABN22의 NLTS 해밀토니안에 성공적으로 적용되어, 낮은 에너지 하위공간에 안정자 상태도, 자명한 상태도 포함하지 않는 새로운 국소 해밀토니안의 가족을 도출함.
• 회전 후 모든 전역 부호검사 행렬(X 및 Z 안정자)의 행이 홀수 무게를 가지게 되어, 이는 안정자 상태를 배제하는 데 핵심적인 역할을 함.
• 결과적으로, 임의의 CSS 해밀토니안을 일정 깊이의 회로로 회전시키면 NLTS 및 NLSS 조건을 모두 만족하는 해밀토니안을 얻을 수 있을 것으로 보이지만, 이는 아직 미해결이며 더 깊은 기법이 필요함.