[논문 리뷰] Local integration by parts and Pohozaev identities for higher order fractional Laplacians

Xavier Ros‐Oton, Joaquim Serra|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 04.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $s > 1$인 고차수 분수 라플라스 연산자 $(-Δ)^s$에 대해 국소적 적분 by parts 공식과 Pohozaev 항등식을 수립한다. 이는 이전의 $s \in (0,1)$ 경우의 결과를 확장한 것이다. 주요 기여는 $u/d^s$를 포함하는 경계항을 도출함으로써, 외부 영역에서 0인 경계 조건을 만족하는 $(-Δ)^s$의 고유함수에 대해 유일한 연속성 성질을 확립하는 데 있다.

ABSTRACT

We establish an integration by parts formula in bounded domains for the higher order fractional Laplacian $(-Δ)^s$ with $s>1$. We also obtain the Pohozaev identity for this operator. Both identities involve local boundary terms, and they extend the identities obtained by the authors in the case $s\in(0,1)$. As an immediate consequence of these results, we obtain a unique continuation property for the eigenfunctions $(-Δ)^sϕ=λϕ$ in $Ω$, $ϕ\equiv0$ in $\mathbb R^n\setminusΩ$.

연구 동기 및 목표

• 분수 지수 $s \in (0,1)$인 경우의 적분 by parts 및 Pohozaev 항등식을 $s > 1$인 고차수 분수 라플라스 연산자로 확장하는 것.
• $(-Δ)^s$에 대해 국소적 경계항 공식을 수립하여, 유계이고 매끄러운 영역에서도 유효하도록 하는 것.
• $(-Δ)^s\phi = \lambda\phi$를 $\Omega$에서 만족하고 $\mathbb{R}^n \setminus \Omega$에서 $\phi \equiv 0$인 고유함수 $\phi$에 대해 유일한 연속성 성질을 증명하는 것.
• Grubb [13]의 정규성 결과와 거리 함수 $d(x)$를 이용한 경계 가중 매끄러움 기법을 통해 고차수 분수 PDE에 대한 엄밀한 분석적 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 논문 [29]에서의 $s \in (0,1)$ 결과를 확장하여, $d(x)$를 이용해 매끄러운 경계 가중치를 정의함으로써 $s > 1$인 $(-Δ)^s$에 대한 적분 by parts 공식을 유도하는 것.
• Grubb [13]의 정규성 이론을 활용하여, $g \in L^\infty(\Omega)$일 때 $(-Δ)^s u = g$를 $\Omega$에서 만족하고 $\mathbb{R}^n \setminus \Omega$에서 $u \equiv 0$인 해 $u$에 대해 $u/d^s \in C^\infty(\overline{\Omega})$임을 증명하는 것.
• 매끄러운 근사 $g_k \to g$를 사용한 밀도 추론을 통해, 공식을 매끄러운 데이터에서 $L^\infty$ 데이터로 확장하고, $u_k/d^s$가 $C^\alpha(\overline{\Omega})$에서 $u/d^s$로 수렴함을 보장하는 것.
• hypergeometric 함수와 단항식에 대한 분수 라플라스 연산자의 행동을 이용하여, $(1 - |x|^2)_+^s$에 대한 $(-Δ)^s$ 작용을 명시적으로 계산함으로써 Pohozaev 항등식 내 상수 $\Gamma(1+s)^2$를 계산하는 것.
• Pohozaev 항등식을 활용하여 경계적분항이 고유함수 조건 하에서 0이 되는 것을 보이고, 이로 인해 $\phi \equiv 0$임을 유도함으로써 유일한 연속성 결과를 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차수 분수 라플라스 연산자 $(-Δ)^s$에 대해 $s > 1$인 경우, $s \in (0,1)$의 경우와 유사한 국소적 적분 by parts 공식을 수립할 수 있는가?
• RQ2 $s > 1$인 $(-Δ)^s$에 대한 Pohozaev 항등식에서 경계항의 정확한 형태는 무엇이며, $u/d^s$에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 $s > 1$인 $(-Δ)^s$에 대한 Pohozaev 항등식이 외부 영역에서 0인 고유함수에 대해 유일한 연속성 성질을 유도하는가?
• RQ4 비정수 $s > 1$에 대해 Pohozaev 항등식 내 상수 $\Gamma(1+s)^2$를 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ5 Grubb [13]의 정규성 결과가 $s > 1$인 경우 $u/d^s$를 포함하는 국소적 항등식 유도에 얼마나 기여하는가?

주요 결과

• $(-Δ)^s$에 대해 $s > 1$인 경우, $\Gamma(1+s)^2 \int_{\partial\Omega} \left(\frac{u}{d^s}\right)^2 (x \cdot \nu) \, d\sigma$에 비례하는 국소적 경계항을 포함하는 적분 by parts 공식이 수립되었으며, 이는 $u \in H^s(\mathbb{R}^n)$이고 $(-\Delta)^s u \in L^\infty(\Omega)$인 경우에 유효하다.
• $(-Δ)^s$에 대해 $s > 1$인 경우 Pohozaev 항등식이 다음 형태로 유도되었다: $\int_\Omega (x \cdot \nabla u)(-\Delta)^s u \, dx = \frac{2s - n}{2} \int_\Omega u (-\Delta)^s u \, dx - \Gamma(1+s)^2 \int_{\partial\Omega} \left(\frac{u}{d^s}\right)^2 (x \cdot \nu) \, d\sigma$, 경계항이 명시적으로 규명되었다.
• Pohozaev 항등식 내 상수 $\Gamma(1+s)^2$는 $(1 - |x|^2)_+^s$에 대한 $(-Δ)^s$ 작용을 hypergeometric 함수 항등식과 분수 라플라스 연산자의 단항식에 대한 행동을 이용해 명시적으로 계산함으로써 엄밀히 도출되었다.
• 유일한 연속성 성질이 증명되었다: 만약 $\phi \in H^s(\mathbb{R}^n)$가 $\Omega$에서 $(-Δ)^s \phi = \lambda \phi$를 만족하고 $\mathbb{R}^n \setminus \Omega$에서 $\phi \equiv 0$이면, Pohozaev 항등식에서 경계적분항이 0이 되므로 $\phi \equiv 0$이 된다.
• $g \in C^\alpha(\overline{\Omega})$일 때 $(-Δ)^s u = g$를 $\Omega$에서 만족하고 $\mathbb{R}^n \setminus \Omega$에서 $u \equiv 0$인 해에 대해 $u/d^s \in C^\infty(\overline{\Omega})$임을 보장하는 정규성 결과가 사용되어, 밀도 추론에서 근사 수열의 점별 수렴을 정당화하는 데 기여하였다.