[논문 리뷰] Local Invariants Vanishing on Stationary Horizons

Andrey A. Shoom|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 14.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 9인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 블랙홀 시공간에서 비특이 정적 시공간의 경계를 국소적 스칼라 다항식 곡률 불변량을 사용하여 식별하는 방법을 제안한다. 시공간의 공위수와 동일한 수의 독립 곡률 불변량의 기울기를 구성함으로써, 그 외적 곱의 제곱 노름이 정확히 시공간의 경계에서 0이 되며, 이는 수치相对론에서 경계 탐지에 대한 국소적이고 기하학적인 기준을 제공한다.

ABSTRACT

For a general black hole spacetime, the location of its surface (the event horizon, which is the boundary of the region from which causal curves can go to asymptotic future null infinity) depends on the future evolution of the spacetime and is not determined locally. However, for black holes that settle down to become stationary, one might ask whether one can find a local invariant that is generically nonzero off the horizon but vanishes on the horizon. In particular, one might look for a scalar polynomial curvature invariant [1–6], which is a scalar obtained by complete contraction of all the indices of a polynomial in the Riemann curvature tensor and its covariant derivatives. For example, Anders Karlhede, Ulf Lindstrom and Jan Aman [7] showed that RRαβγδ;ǫ crosses zero and switches sign as one crosses the horizon of the Schwarzschild metric, and one can easily show that this is also true for any smooth static spherically symmetric horizon. An invariant that vanishes on more general stationary horizons could be useful in numerical relativity for finding the approximate location of the horizon once the spacetime has settled down to become approximately stationary. Majd Abdelqader and Kayll Lake [8] have recently found a local scalar polynomial curvature invariant that vanishes at the horizon of the Kerr black hole. After casting this invariant into a simpler form that is proportional to the squared norm of the wedge product of two curvature-invariant gradients, we realized that the procedure generalizes to give a way to locate any nonsingular stationary horizon in terms of a local curvature invariant. Essentially, if one constructs as many gradients of independent curvature invariants as the cohomogeneity of a stationary spacetime, at a generic point in the spacetime these gradients will be linearly independent and spacelike, but at an horizon, a linear combination will become null. This implies that the squared norm of the wedge product of the gradients will vanish at a stationary horizon. Abdelqader and Lake [8] give the following six curvature invariants for the Kerr metric, which we here copy

연구 동기 및 목표

• 정적 경계에서만 국소적 스칼라 다항식 곡률 불변량이 0이 되고, 경계 외부에서는 0이 아닐 수 있는가를 판단하는 것.
• 사건 경계가 미래 시공간 진화에 의존하는 비국소적 성질을 지녀 수치 시뮬레이션에서 경계를 식별하기 어려운 문제를 다루는 것.
• 스워츠실트와 킬러 블랙홀에 대한 기존 결과를 일반화하여 임의의 정적 시공간에 적용 가능한 통합 프레임워크를 제공하는 것.
• 수치 상대론에서 곡률 불변량을 사용하여 전역적 인과적 구조에 의존하지 않고도 실용적이고 국소적인 기하학적 기준을 제공하는 것.

제안 방법

• 정적 시공간의 공위수와 동일한 수의 스칼라 다항식 곡률 불변량의 집합을 구성한다.
• 시공간의 일반적인 점들에서 이러한 불변량의 기울기를 계산한다. 이 기울기는 일반적으로 선형 독립적이며 시공간적 성질을 가진다.
• 이 기울기 1형식들의 외적 곱을 형성하고, 그 제곱 노름을 스칼라 불변량으로 계산한다.
• 이 제곱 노름이 정확히 정적 경계에서 0이 됨을 보여주며, 이는 기울기들의 선형 조합이 영이 되는 지점에서 발생한다.
• 기존의 사례(예: 킬러 계량식)에서 이 방법을 검증하여, 불변량을 외적 곱의 제곱 노름에 비례하는 형태로 단순화한다.
• 이러한 구성 방식을 특수한 대칭성이나 특정 해 유형에 관계없이 모든 비특이 정적 시공간으로 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정적 경계에서 정확히 0이 되는 국소적 스칼라 다항식 곡률 불변량을 구성할 수 있는가?
• RQ2 정적 경계를 가로질러 곡률 불변량 기울기의 기하학적 행동은 일반적인 시공간 점들과 어떻게 다를까?
• RQ3 전연 인과적 구조에 의존하지 않고 곡률 불변량만을 사용하여 수치 상대론에서 경계를 체계적으로 탐지할 수 있는 방법이 있는가?
• RQ4 시공간의 공위수와 경계를 탐지하기 위해 필요한 곡률 불변량의 수 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 이 방법은 킬러나 슈바르츠실트와 같은 알려진 해를 넘어서 임의의 정적 시공간으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 비특이 정적 시공간의 경계에서 곡률 불변량 기울기들의 외적 곱의 제곱 노름이 정확히 0이 된다.
• 경계 외부의 일반적인 점들에서는 곡률 불변량 기울기가 선형 독립적이며 시공간적 성질을 가지며, 이는 불변량이 0이 아님을 보장한다.
• 경계에서 이 기울기들의 선형 조합이 영이 되어 외적 곱의 노름이 0이 된다.
• 이 방법은 이전에 알려진 킬러 블랙홀의 결과를 일반화하며, 특정 곡률 불변량이 경계에서 0이 되는 것으로 이전에 발견된 바가 있다.
• 이 구성은 계량식의 구체적 형태에 독립적이며, 유한한 공위수를 갖는 모든 정적 시공간에 적용 가능하다.
• 이 접근법은 수치 상대론 시뮬레이션에서 경계 탐지에 대해 국소적이고 기하학적이며 계산적으로 접근 가능한 기준을 제공한다.