[논문 리뷰] Local $L^p$-Brunn-Minkowski inequalities for $p < 1$

Kolesnikov Alexander, Emanuel Milman|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 03.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 51인용 수 27

한 줄 요약

이 논문은 $ \mathbb{R}^n$ 내의 매끄럽고 원점에 대해 대칭인 볼록체에 대해 $p < 1$ 인 국소적 $L^p$-Brunn-Minkowski 부등식을 확립하며, 고전적 Brunn-Minkowski 부등식의 추측되는 강화판을 국소적으로 $p \in [1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$ 범위에서 확인한다. 핵심 결과는 Hilbert–Brunn–Minkowski 연산자와 연결된 스펙트럼 간격 최소화 문제이며, 이는 국소적 유일성과 $L^p$-Minkowski 문제에 대한 개선된 안정성 추정치를 가능하게 한다. Brunn-Minkowski 및 등각적 불등식에 대한 안정성 추정치를 향상시킨다.

ABSTRACT

The $L^p$-Brunn-Minkowski theory for $p\geq 1$, proposed by Firey and developed by Lutwak in the 90's, replaces the Minkowski addition of convex sets by its $L^p$ counterpart, in which the support functions are added in $L^p$-norm. Recently, Böröczky, Lutwak, Yang and Zhang have proposed to extend this theory further to encompass the range $p \in [0,1)$. In particular, they conjectured an $L^p$-Brunn-Minkowski inequality for origin-symmetric convex bodies in that range, which constitutes a strengthening of the classical Brunn-Minkowski inequality. Our main result confirms this conjecture locally for all (smooth) origin-symmetric convex bodies in $\mathbb{R}^n$ and $p \in [1 - \frac{c}{n^{3/2}},1)$. In addition, we confirm the local log-Brunn--Minkowski conjecture (the case $p=0$) for small-enough $C^2$-perturbations of the unit-ball of $\ell_q^n$ for $q \geq 2$, when the dimension $n$ is sufficiently large, as well as for the cube, which we show is the conjectural extremal case. For unit-balls of $\ell_q^n$ with $q \in [1,2)$, we confirm an analogous result for $p=c \in (0,1)$, a universal constant. It turns out that the local version of these conjectures is equivalent to a minimization problem for a spectral-gap parameter associated with a certain differential operator, introduced by Hilbert (under different normalization) in his proof of the Brunn-Minkowski inequality. As applications, we obtain local uniqueness results in the even $L^p$-Minkowski problem, as well as improved stability estimates in the Brunn-Minkowski and anisotropic isoperimetric inequalities.

연구 동기 및 목표

• 매끄럽고 원점에 대해 대칭인 볼록체의 설정에서 $p < 1$ 인 국소적 $L^p$-Brunn-Minkowski 추측을 해결한다.
• $p \in [1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$ 에서 짝수 $L^p$-Minkowski 문제의 국소적 유일성 결과를 확립한다.
• 스펙트럼 방법을 사용하여 Brunn-Minkowski 및 이방향 등각적 불등식에 대한 개선된 안정성 추정치를 도출한다.
• Reilly 공식을 통해 $L^p$-Brunn-Minkowski 부등식을 Hilbert–Brunn–Minkowski 연산자의 스펙트럼 간격과 연결한다.

제안 방법

• 볼록체의 경계에서 Hilbert–Brunn–Minkowski 연산자를 포함하는 스펙트럼 최소화 문제로 국소적 $L^p$-Brunn-Minkowski 부등식을 공식화한다.
• Reilly 공식을 사용하여 잠재 함수의 헤시안의 $L^2$-노름을 추정함으로써 국소 부등식에 대한 충분 조건을 도출한다.
• 두 번째 Steklov 연산자를 적용하고, 유클리드 구 $B_2^n$ 에서의 작용을 계산하여 기준 추정치를 확보한다.
• $C^2$-위상에서 스펙트럼 간격 함수 $B_H(K)$ 의 연속성을 확립하여 구에서부터 인접한 볼록체로 결과를 확장한다.
• 최적 운반 이론과 산술-기하 평균, 코시-슈바르츠 부등식과 같은 기하학적 부등식을 적용하여 볼록체의 비대칭성과 $L^p$-Brunn-Minkowski 결함 사이의 관계를 규명한다.
• KLS 추측과 알려진 Cheeger 상수의 경계를 활용하여 스펙트럼 간격을 제어하고, 차원에 따라 의존하는 안정성 추정치를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매끄럽고 원점에 대해 대칭인 볼록체의 경우, $p < 1$ 에 대해 국소적 $L^p$-Brunn-Minkowski 부등식이 성립하는가?
• RQ2 고차원에서 $q \geq 2$ 인 $\ell_q^n$-구의 작은 $C^2$-편미분에 대해 국소적 로그-Brunn-Minkowski 추측($p=0$)은 확인될 수 있는가?
• RQ3 국소적 로그-Brunn-Minkowski 부등식에서 큐브는 조건부 극값 케이스인가?
• RQ4 Hilbert–Brunn–Minkowski 연산자의 스펙트럼 간격은 국소적 $L^p$-Brunn-Minkowski 부등식을 특성화하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 분산과 비대칭성에 관해 Brunn-Minkowski 및 등각적 불등식의 정밀한 안정성 추정치는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 매끄럽고 원점에 대해 대칭인 볼록체에 대해 $ \mathbb{R}^n$ 에서 $p \in [1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$ 일 때 국소적 $L^p$-Brunn-Minkowski 부등식이 확인된다.
• 충분히 큰 $n$ 에 대해 $q \geq 2$ 인 $\ell_q^n$-구의 작은 $C^2$-편미분에 대해 국소적 로그-Brunn-Minkowski 추측이 검증된다.
• 큐브는 조건부 극값 케이스로 확인된다. 이는 조건부 볼록체에 대해 국소적 로그-Brunn-Minkowski 부등식의 경우이다.
• $\ell_q^n$-구에 대해 $q \in [1,2)$ 이고 $p = c \in (0,1)$ 이면, 국소적 $L^p$-Brunn-Minkowski 부등식이 성립하며, 이는 일반적인 상수이다.
• Brunn-Minkowski 및 이방향 등각적 불등식에 대한 개선된 안정성 추정치를 확보하였으며, KLS 추측 하에 결함이 $C(n) \leq C n^{5/4}$ 로 유계화된다.
• 범위 $p \in [1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$ 에서 짝수 $L^p$-Minkowski 문제의 해에 대해 국소적 유일성이 확립된다.